Question

16．如圖，銳角△ABC中，CD⊥AB于D，AB=8，CD=6，E是AC邊上的動點，作矩形EFGH，使H在BC邊上，G在AB邊上，則矩形EFGH的對角線的最小值是（　�。�

• A． 4
• B． 4.8
• C． 5
• D． 5.5

Answer 1

分析 如圖，作輔助線，設(shè)EH=λ，DK=μ，則CK=6-μ；首先證明△CEH∽△CAB，得到$\frac{CK}{CD}=\frac{EH}{AB}$，即$\frac{6-μ}{6}=\frac{λ}{8}$，進而得到$λ=\frac{4（6-μ）}{3}$，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；運用勾股定理列出關(guān)于μ的函數(shù)關(guān)系式，借助二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：如圖，連接FH；
設(shè)EH=λ，DK=μ，
則CK=6-μ；
∵四邊形EFGH為矩形，
∴EH∥AB，△CEH∽△CAB，
∴$\frac{CK}{CD}=\frac{EH}{AB}$，即$\frac{6-μ}{6}=\frac{λ}{8}$，
∴$λ=\frac{4（6-μ）}{3}$；
∵四邊形EFGH為矩形，
∴GH=DK=μ，F(xiàn)G=EH=λ，∠FGH=90°，
由勾股定理得：FH²=λ²+μ²
=$\frac{25}{9}{μ}^{2}-\frac{64}{3}μ+64$（0＜μ＜6），
∵a=$\frac{25}{9}＞0$，
∴當μ=$-\frac{2a}$=$\frac{96}{25}$時，F(xiàn)H²取得最小值，
此時FH=4.8，
故選B．

點評 該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點及其應(yīng)用問題；牢固掌握相似三角形的判定及其性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點是基礎(chǔ)，靈活運用解題是關(guān)鍵．