Question

7．已知等邊三角形ABC（如圖）．是否存在一點O，它到頂點A，B，C的距離相等，到邊AB，AC，BC的距離也相等？如果有，請用圓規(guī)和直尺作出這個點，并說明理由；如果沒有，請作出解釋．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點O，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得點O為三邊的中垂線的交點，也是角平分線的交點，于是可判斷O點到頂點A，B，C的距離相等，到邊AB，AC，BC的距離也相等．

解答 解：存在一點O，它到頂點A，B，C的距離相等，到邊AB，AC，BC的距離也相等．
如圖，點O為所作．
∵AD⊥BC，AE⊥AC，
而△ABC為等邊三角形，
∴BD=CD，AE=CE，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴AD、BE分別為BC和AC的垂直平分線，
∴點O為三邊的中垂線的交點，也是角平分線的交點，
∴點O到頂點A，B，C的距離相等，到邊AB，AC，BC的距離也相等．

點評 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．