Question

15．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，將△ABC繞點C按逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得△DEC．設(shè)CD交AB于點F，當(dāng)∠ACD=40°或20°時，△ADF為等腰三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DCA=α，CD=CA，則利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計算出∠CDA=∠CAD=90°-$\frac{1}{2}$α，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DFA=∠FCA+∠FAC=α+30°，當(dāng)FD=FA，則∠FDA=∠FAD，這不合題意舍去；當(dāng)AF=AD，則∠ADF=∠AFD，即90°-$\frac{1}{2}$α=30°+α；當(dāng)DF=DA，則∠DFA=∠DAF，即30°+α=90°-$\frac{1}{2}$α-30°，然后分別解方程即可得到α的值即可．

解答 解：∵△ABC繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，
∴∠DCA=α，CD=CA，
∴∠CDA=∠CAD=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∠DFA=∠FCA+∠FAC=α+30°，
當(dāng)FD=FA，則∠FDA=∠FAD，這不合題意舍去；
當(dāng)AF=AD，則∠ADF=∠AFD，即90°-$\frac{1}{2}$α=30°+α，解得α=40°；
當(dāng)DF=DA，則∠DFA=∠DAF，即30°+α=90°-$\frac{1}{2}$α-30°，解得α=20°．
故答案為40°或20°．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的判定．