Question

3．如圖，兩相交圓的公共弦AB，在⊙O₁中為內(nèi)接正三角形的一邊，在⊙O₂中為內(nèi)接正六邊形的一邊，求這兩圓的面積之比．

Answer 1

分析 根據(jù)內(nèi)接多邊形的性質(zhì)分別求得兩圓的半徑，然后根據(jù)圓的面積公式求這兩圓的面積之比．

解答 解：如圖，連O₁O₂交AB于D，交⊙O于C，則O₁O₂垂直平分AB．
∵AB為⊙O₂內(nèi)接正六邊形的一邊，
∴△O₂AB為等邊三角形，
設(shè)O₂A=AB=k．
又∵AB分別為⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴AD=$\frac{1}{2}$k，∠AO₁B=2∠ACB=120°，
∴∠AO₁D=60°，
∴O₁A=$\frac{AD}{sin60°}$=$\frac{\frac{1}{2}k}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}k}{3}$，
∴這兩圓的面積之比為：πO₁A²：πO₂A²=O₁A²：O₂A²=$\frac{\sqrt{3}k}{3}$：$\frac{1}{2}$k=2$\sqrt{3}$：3．

點(diǎn)評 本題考查了相交兩圓的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及解直角三角形．此題實(shí)際上求兩圓的半徑之比．