Question

8．如圖，已知拋物線y=a（x+2）（x-4）（a為常數(shù)，且a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P為直線BD下方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PD、PB，求△PBD面積的最大值；
（3）設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？

Answer 1

分析 （1）首先求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，然后求出直線BD的解析式，求得點(diǎn)D坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得a的值；
（2）用三角形的面積公式建立函數(shù)關(guān)系式，再確定出最大值；
（3）由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+DF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=AF+$\frac{1}{2}$DF．如圖，作輔助線，將AF+$\frac{1}{2}$DF轉(zhuǎn)化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求的F點(diǎn)．

解答 解：（1）拋物線y=a（x+2）（x-4），令y=0，解得x=-2或x=4，
∴A（-2，0），B（4，0）．
∵直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b經(jīng)過點(diǎn)B（4，0），
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×4+b=0，解得b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴直線BD解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)x=-5時(shí)，y=3$\sqrt{3}$，
∴D（-5，3$\sqrt{3}$），
∵點(diǎn)D（-5，3$\sqrt{3}$）在拋物線y=a（x+2）（x-4）上，
∴a（-5+2）（-5-4）=3$\sqrt{3}$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$x-$\frac{8\sqrt{3}}{9}$

（2）設(shè)P（m，$\frac{\sqrt{3}}{9}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$m-$\frac{8\sqrt{3}}{9}$）
∴S_△BPD=$\frac{1}{2}$×9[（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）-（$\frac{\sqrt{3}}{9}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$m-$\frac{8\sqrt{3}}{9}$）]
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+10$\sqrt{3}$
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{81\sqrt{3}}{8}$

∴△BPD面積的最大值為$\frac{81\sqrt{3}}{8}$；
（3）如圖，

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點(diǎn)F，
∵由（2）得，DN=3$\sqrt{3}$，BN=9，
∵∠DBA=30°，
∴∠BDH=30°，
∴FG=DF×sin30°=$\frac{1}{2}$FD，
∴當(dāng)且僅當(dāng)AH⊥DK時(shí)，AF+FH最小，
點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)為：t=AF+$\frac{1}{2}$FD=AF+FH，
∵l_BD：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴F_x=A_x=-2，F(xiàn)（-2，2$\sqrt{3}$）
∴當(dāng)F坐標(biāo)為（-2，2$\sqrt{3}$）時(shí)，用時(shí)最少．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，函數(shù)極值的確定方法，解（1）的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，解（2）的關(guān)鍵是用三角形的面積公式建立函數(shù)關(guān)系式，解（3）的關(guān)鍵是作出輔助線，是一道難度比較大的中考�？碱}．