Question

1．如圖，在⊙O中，BC為⊙O的弦，點A在半徑OD上，連接AB、AC，$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$．
（1）如圖1，求證：△ABC是等腰三角形；
（2）如圖2，延長DO交BC于F，延長BO交AC于G，交⊙O于E，若AO=2OF，求證：點G為AC的中點；
（3）如圖3在（2）的條件下，連接CE，H在FC上，直線GH交⊙O于M、N，若CA平分∠BCE，OF=FH，BC=6，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，延長DO交BC于F．根據垂徑定理可得DF垂直平分BC，由此可得AB=AC．
（2）如圖2中，連接EC，AE，OC，只要證明四邊形AOCE是平行四邊形即可解決問題．
（3）如圖3中，連接OC交MN于K，連接OM．首先證明OC⊥MN，求出OK、OM即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，延長DO交BC于F．

∵$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴DF⊥BC，
∴BF=CF，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

（2）證明：如圖2中，連接EC，AE，OC

∵BO=OE，BF=FC，
∴OF∥EC，EC=2OF，
∵AO=2OF，
∴OA=EC，∵OA∥EC，
∴四邊形AOCE是平行四邊形，
∴AG=CG，即G是AC中點．

（3）解：如圖3中，連接OC交MN于K，連接OM．

∵AC平分∠BCE，∠BCE=90°，
∴∠ECA=∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，
∵BC=6，
∴AF=BF=CF=3，OA=2，OF=FH=1，HC=EC=2，
∵CG=CG，∠GCH=∠GCE，CH=CE，
∴△CGH≌△CGE，
∴∠∠CHG=∠CEG，
∵∠CBE+∠CEG=90°，
∵OB=OC，
∴∠CBE=∠OCB，
∴∠OCB+∠CHG=90°，
∴∠CKH=90°，
∴OK⊥MN，MK=KN，
∵△CKH∽△CFO，
∴$\frac{CK}{CF}$=$\frac{CH}{CO}$，∵OC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{CK}{3}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$，
∴CK=$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$，
∴OK=OC-CK=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$，
∴MK=$\sqrt{O{M}^{2}-O{K}^{2}}$=$\sqrt{10-\frac{40}{25}}$=$\frac{\sqrt{210}}{5}$，
∴MN=2MK=$\frac{2\sqrt{210}}{5}$．

點評 本題考查圓綜合題、垂徑定理、全等三角形的判定和性質．相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，綜合性比較強，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．