Question

1．如圖，線段AB是半徑為6.5的⊙O的直徑，點C是弧AB的中點，點M、N在線段AB上，MN=6，若∠MCN=45°，線段AM的長度為$\frac{7+\sqrt{23}}{2}$或$\frac{7-\sqrt{23}}{2}$．

Answer 1

分析 作DA⊥AB，使DA=BN，連接DC，DM，根據旋轉的性質求得∠ACD=∠BCN，DC=NC，然后證得△DMC≌△NMC，求得DM=MN=6，設AM=x；則AD=BN=AB-AM-MN=7-x，根據勾股定理得出x²+（7-x）²=36，進而就可求得線段AM的長度．

解答 解：作DA⊥AB，使DA=BN，連接DC，DM，
∵線段AB是⊙O的直徑，點C是弧AB的中點，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠DAC=∠NBC=45°，
在△ADC和△NCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=NB}\\{∠DAC=∠NBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△NCB（SAS），
∴∠ACD=∠BCN，DC=NC，
∵∠MCN=45°
∴∠ACM+∠BCN=45°
∴∠ACM+∠ACD=45°
即∠MCD=45°=∠MCN，
在△DMC和△NMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=CN}\\{∠MCD=∠MCN}\\{CM=CM}\end{array}\right.$
∴△DMC≌△NMC（SAS），
∴DM=MN=6，
設AM=x；則AD=BN=AB-AM-MN=7-x
根據勾股定理
AM²+AD²=DM²
x²+（7-x）²=36
2x²-14x+13=0，解得x=$\frac{7±\sqrt{23}}{2}$，
∴AM的長度為$\frac{7+\sqrt{23}}{2}$或$\frac{7-\sqrt{23}}{2}$．
故答案為$\frac{7+\sqrt{23}}{2}$或$\frac{7-\sqrt{23}}{2}$．

點評 本題考查了旋轉的性質，三角形全等的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理的應用等，作出輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．