Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C，并且∠ACB=90°，AB=10．
（1）求證：△OAC∽△OCB；
（2）求該拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得△PAC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠CAO=∠BCO，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{OC}{OB}=\frac{OA}{OC}$，得到A（-2，0），B（8，0），解方程組即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)P（3，n），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離得到AC=2$\sqrt{5}$，AP=$\sqrt{（-2-3）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{25+{n}^{2}}$，PC=$\sqrt{{3}^{2}+（n-4）^{2}}$，①當(dāng)AC=AP時(shí)，②當(dāng)AC=CP時(shí)，③當(dāng)AP=CP時(shí)，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠CAO+∠ACO=∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，
∴△OAC∽△OCB；
（2）∵在y=ax²+bx+4中，當(dāng)x=0，y=4，
∴OC=4，
∵△OAC∽△OCB，
∴$\frac{OC}{OB}=\frac{OA}{OC}$，
∴$\frac{4}{OB}$=$\frac{10-OB}{4}$，
∴OB=2或OB=8，
∴A（-2，0），B（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{64a+8b+4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴該拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；
（3）存在，∵y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{13}{4}$，
∴拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=3，
∴設(shè)P（3，n），
∵A（-2，0），C（0，4），
∴AC=2$\sqrt{5}$，AP=$\sqrt{（-2-3）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{25+{n}^{2}}$，PC=$\sqrt{{3}^{2}+（n-4）^{2}}$，
∵△PAC為等腰三角形，
①當(dāng)AC=AP時(shí)，即$\sqrt{25+{n}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
此方程無實(shí)數(shù)根，這種情況不存在；
②當(dāng)AC=CP時(shí)，即2$\sqrt{5}$=$\sqrt{{3}^{2}+（n-4）^{2}}$，
解得：n=4+$\sqrt{11}$，n=4-$\sqrt{11}$，
③當(dāng)AP=CP時(shí)，即$\sqrt{25+{n}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（n-4）^{2}}$，
解得：n=0，
∴P（3，4+$\sqrt{11}$），（3，4-$\sqrt{11}$），（3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，等腰三角形的判定，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．