Question

1．等腰△ABC中，CA=CB，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，沿CD折疊△CAD得到△CFD，邊CF交邊AB于點(diǎn)E，CD=CE，連接BF．

（1）求證：FD=FB．
（2）連接AF交CD的延長線于點(diǎn)M，連接ME交線段DF于點(diǎn)N，若EF=4EC，AB=22，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ACE≌△BCD，推得AE=BD，DF=EB，然后判斷出△DCF≌△ECB，推得∠FDE=∠BCE，最后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△DEF∽△CEB，推得$\frac{DE}{EF}$=$\frac{CE}{EB}$，再根據(jù)∠DEC=∠FEB，推得△DEC∽△FEB，再判斷出∠FDB=∠FBD，即可推得FD=FB．
（2）首先根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△DEF∽△CEB，推得$\frac{ED}{CE}=\frac{EF}{EB}$，再判斷出△CED∽△BEF，推得∠DCE=∠EBF，進(jìn)而判斷出△EBF、△BCF為等腰三角形，所以∠BCF=∠EBF，∠DCE=∠BCF，CE為△BCD和∠BCD的平分線；最后由角平分線定理，可得$\frac{CB}{CD}=\frac{EB}{ED}$，$\frac{CE+EF}{CE}=\frac{EB}{ED}$，求出ED、EC的值各是多少；再判斷出△MNG∽△END，推得$\frac{MG}{ED}$=$\frac{MN}{EN}$，$\frac{MN}{EN}$=$\frac{5}{2}$，MN=$\frac{5}{7}$ME，在△MCE中，由余弦定理，可得ME²=MC²+EC²-2MC×EC×cos∠DCE，ME²=10EC²-3.6EC²=6.4EC²，據(jù)此求出MN的大小即可．

解答 （1）證明：如圖1，，
∵CA=CB，
∴∠A=∠ABC，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
在△ACE與△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ABC}\\{∠AEC=∠BDC}\\{AC=CB}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△BCD（AAS）
∴AE=BD，
∴AD=EB，
∵AD=DF，
∴DF=EB，
在△DCF與△ECB中
$\left\{\begin{array}{l}{DF=EB}\\{CF=CB}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△DCF≌△ECB（SSS），
∠DCE=∠ECB，∠DFE=∠EBC，
∴∠FDE=∠BCE，
∴△DEF∽△CEB，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{CE}{EB}$，
∵∠DEC=∠FEB，
∴△DEC∽△FEB，
∴∠DCE=∠EBF，
∴∠FDB=∠FBD，
∴FD=FB．

（2）解：∵沿CD折疊△CAD得到△CFD，
∴CA=CF，∠CAD=∠CFD，
∵∠CAD=∠CBE，
∴∠CFD=∠CBE，
∵∠DEF=∠CEB，
∴△DEF∽△CEB，
∴$\frac{ED}{CE}=\frac{EF}{EB}$，
又∵∠CED=∠BEF，
∴△CED∽△BEF，
∴∠DCE=∠EBF，
∵CD=CE，
∴BE=BF，△EBF為等腰三角形，
∵CF=CB，
∴△BCF為等腰三角形，
則∠BCF=∠EBF，
∴∠DCE=∠BCF，CE為△BCD和∠BCD的平分線，
由角平分線定理，可得
$\frac{CB}{CD}=\frac{EB}{ED}$，$\frac{CE+EF}{CE}=\frac{EB}{ED}$，
∵EF=4EC，
∴$\frac{EB}{ED}$=5，
∵AB=AD+ED+EB=22，
∴5ED+ED+5ED=22，
解得ED=2，
∵$\frac{ED}{CE}=\frac{EF}{EB}$，
∴4CE²=5ED²，EC=$\sqrt{5}$，
由余弦定理，可得
ED²=CD²+CE²-2CD×CEcos∠DCE，cos∠DCE=$\frac{3}{5}$．
如圖2，過點(diǎn)M作AE的平行線分別交FD、EF于點(diǎn)G、H，，
∵M(jìn)為AF邊的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)G、H是FD、EF的中點(diǎn)，
∵EF=4EC，
∴EH=2EC，
∴MD=2CD，MH=3ED，
∵GH=$\frac{1}{2}$ED，
∴MG=$\frac{5}{2}$ED，
∵△MNG∽△END，
∴$\frac{MG}{ED}$=$\frac{MN}{EN}$，$\frac{MN}{EN}$=$\frac{5}{2}$，MN=$\frac{5}{7}$ME，
在△MCE中，由余弦定理，可得
ME²=MC²+EC²-2MC×EC×cos∠DCE，
ME²=10EC²-3.6EC²=6.4EC²，
∴ME=4$\sqrt{2}$，MN=$\frac{20\sqrt{2}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了翻折變換（折疊問題），要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
（2）此題還考查了等腰三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，考查了分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①等腰三角形的兩腰相等．②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．