Question

10．某廠按用戶的月需求量x（件）完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn)，其中x＞0，每件的售價(jià)為18萬元，每件的成本y（萬元）是基礎(chǔ)價(jià)與浮動價(jià)的和，其中基礎(chǔ)價(jià)保持不變，浮動價(jià)與月需求量x（件）成反比，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，月需求量x與月份n（n為整數(shù)，1≤n≤12），符合關(guān)系式x=2n²-2kn+9（k+3）（k為常數(shù)），且得到了表中的數(shù)據(jù)．

月份n（月）	1	2
成本y（萬元/件）	11	12
需求量x（件/月）	120	100

（1）求y與x滿足的關(guān)系式，請說明一件產(chǎn)品的利潤能否是12萬元；
（2）求k，并推斷是否存在某個(gè)月既無盈利也不虧損；
（3）在這一年12個(gè)月中，若第m個(gè)月和第（m+1）個(gè)月的利潤相差最大，求m．

Answer 1

分析 （1）設(shè)y=a+$\frac{x}$，將表中相關(guān)數(shù)據(jù)代入可求得a、b，根據(jù)12=18-（6+$\frac{600}{x}$），則$\frac{600}{x}$=0可作出判斷；
（2）將n=1、x=120代入x=2n²-2kn+9（k+3）可求得k的值，先由18=6+$\frac{600}{x}$求得x=50，根據(jù)50=2n²-26n+144可判斷；
（3）第m個(gè)月的利潤W=x（18-y）=18x-x（6+$\frac{600}{x}$）=24（m²-13m+47），第（m+1）個(gè)月的利潤為W′=24[（m+1）²-13（m+1）+47]=24（m²-11m+35），分情況作差結(jié)合m的范圍，由一次函數(shù)性質(zhì)可得．

解答 解：（1）由題意，設(shè)y=a+$\frac{x}$，
由表中數(shù)據(jù)可得：$\left\{\begin{array}{l}{11=a+\frac{120}}\\{12=a+\frac{100}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=600}\end{array}\right.$，
∴y=6+$\frac{600}{x}$，
由題意，若12=18-（6+$\frac{600}{x}$），則$\frac{600}{x}$=0，
∵x＞0，
∴$\frac{600}{x}$＞0，
∴不可能；

（2）將n=1、x=120代入x=2n²-2kn+9（k+3），得：120=2-2k+9k+27，
解得：k=13，
∴x=2n²-26n+144，
將n=2、x=100代入x=2n²-26n+144也符合，
∴k=13；
由題意，得：18=6+$\frac{600}{x}$，
解得：x=50，
∴50=2n²-26n+144，即n²-13n+47=0，
∵△=（-13）²-4×1×47＜0，
∴方程無實(shí)數(shù)根，
∴不存在；

（3）第m個(gè)月的利潤為W，
W=x（18-y）=18x-x（6+$\frac{600}{x}$）
=12（x-50）
=24（m²-13m+47），
∴第（m+1）個(gè)月的利潤為W′=24[（m+1）²-13（m+1）+47]=24（m²-11m+35），
若W≥W′，W-W′=48（6-m），m取最小1，W-W′取得最大值240；
若W＜W′，W′-W=48（m-6），由m+1≤12知m取最大11，W′-W取得最大值240；
∴m=1或11．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意準(zhǔn)確梳理所涉變量，并熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、利潤的相等關(guān)系列出解析式是解題的關(guān)鍵．