Question

20．如圖，已知矩形ABCD，AD=9，AB=6，若點(diǎn)G、H、M、N分別在AB、CD、AD、BC上，線段MN與GH交于點(diǎn)K．若∠GKM=45°，NM=3$\sqrt{5}$，則GH=3$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)A作AE∥GH交CD于E，作AF∥MN交BC于F，于是得到AF=MN=3$\sqrt{5}$，AE=GH，由于∠GKM=45°，得到∠BAF+∠DAE=90°-45°=45°，作∠QAE=45°交CD的延長線于Q，推出∠QAD+∠DAE=45°，通過△ABF≌△AQD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{AQ}$，求得AQ=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，在Rt△ADQ中，由勾股定理得到DQ=$\sqrt{A{Q}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{9}{2}$，過點(diǎn)E作EP⊥AQ于P，得到△AEP是等腰直角三角形，設(shè)GH=AE=x，則AP=EP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后利用∠Q的正切值列出方程求解即可．

解答 解：如圖，過點(diǎn)A作AE∥GH交CD于E，作AF∥MN交BC于F，
則AF=MN=3$\sqrt{5}$，AE=GH，
∵∠GKM=45°，
∴∠BAF+∠DAE=90°-45°=45°，
作∠QAE=45°交CD的延長線于Q，
則∠QAD+∠DAE=45°，
∴∠QAD=∠FAB，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ABF∽△AQD，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{AQ}$，
∴$\frac{6}{9}=\frac{3\sqrt{5}}{AQ}$，
∴AQ=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△ADQ中，DQ=$\sqrt{A{Q}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{9}{2}$，
過點(diǎn)E作EP⊥AQ于P，
∵∠QAE=45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
設(shè)GH=AE=x，則AP=EP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵tan∠Q=$\frac{AD}{DQ}$=$\frac{PE}{PQ}$，
∴$\frac{9}{\frac{9}{2}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{\frac{9\sqrt{5}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}x}$，
解得x=3$\sqrt{10}$，
所以GH=3$\sqrt{10}$．
故答案為：3$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出相似三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．