Question

8．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4與x軸交于A（2，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求b的值；
（2）求拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，BC為直角邊作Rt△BCD，CD交拋物線于第二象限的點(diǎn)P，若PC=PD，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出；
（2）直接用對(duì)稱軸公式與頂點(diǎn)坐示公式計(jì)算即可；
（3）連接BP，則BP直角角三角形斜邊CD上的中線，即BP=CP，連接OP，可證△BPO與△CPO全等，從而OP平分∠BOC，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可解出．

解答 解：（1）將A（2，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4得b=-1．
（2）對(duì)稱軸$-\frac{2a}=-\frac{-1}{2×（-\frac{1}{2}）}=-1$．
$\frac{4ac-^{2}}{4a}=4-\frac{（-1）^{2}}{4×（-\frac{1}{2}）}=\frac{9}{2}$，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)：（-1，$\frac{9}{2}$）．
（3）連接PB，PO，如圖，

令$-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4=0$，解得x₁=-4，x₂=2，
∴B（-4，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴C（0，4），
∴OB=OC，
在Rt△BDC中，∵PC=PD，
∴BP=PC，
在△BPO和△CPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=PC}\\{PO=PO}\\{CO=BO}\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△CPO（SSS），
∴OP平分∠COB，
設(shè)P（m，-m），
則有$-\frac{1}{2}{a}^{2}-a+4=-a$，解得：m=$±2\sqrt{2}$，
又P在第二象限，
∴P（$-2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、拋物線的對(duì)稱軸公式與頂點(diǎn)坐標(biāo)公式、直角三角形斜中線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有一定綜合性，難度適中．第（3）問當(dāng)中，證明△BPO≌△CPO是關(guān)鍵．