Question

9．已知如圖①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點O，
（1）若∠A=70°，則∠BOC=125°，試判斷∠BOC與∠A存在的某種等量關(guān)系并證明；
（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分線交于點O₁、O₂，則∠BO₁C=$\frac{2}{3}×180°+\frac{1}{3}∠A，∠B{O_2}C=\frac{1}{3}×180°+\frac{2}{3}$∠A．
根據(jù)以上信息解決下列問題：
①試找出它們的規(guī)律（n等分時，內(nèi)部有n-1個點），n等分時∠BO₁C=$\frac{n-1}{n}$×180°+$\frac{1}{n}$∠A，∠BO_n-1C=$\frac{1}{n}×180°+\frac{n-1}{n}×∠A$．（用含n的式子表示），
②根據(jù)你的猜想，取n=4時，證明∠BO₃C表達式仍然成立．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到$∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC，∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB$，根據(jù)三角形的內(nèi)角和列式化簡即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和，角的和差和倍分關(guān)系即可得到結(jié)論；
②根據(jù)三角形的內(nèi)角和，角的和差和倍分關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∠BOC=125°，$∠BOC=90°+\frac{1}{2}∠A$．
證明：∵∠ABC、∠ACB的平分線交于點O，
∴$∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC，∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB$，
在△BOC中，$∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-\frac{1}{2}（∠ABC+∠ACB）$=$180°-\frac{1}{2}（180°-∠A）=180°-90°+\frac{1}{2}∠A$=$90°+\frac{1}{2}∠A$；
故答案為：125°；

（2）①$∠B{O_1}C=\frac{n-1}{n}×180°+\frac{1}{n}∠A，∠B{O_{n-1}}C=\frac{1}{n}×180°+\frac{n-1}{n}×∠A$，
故答案為：$\frac{n-1}{n}$×180°+$\frac{1}{n}$∠A，$\frac{1}{n}×180°+\frac{n-1}{n}×∠A$；
②證明：當(dāng)n=4時，$∠B{O_3}C=180°-（∠{O_3}BC+∠{O_3}CB）=180°-\frac{3}{4}（∠ABC+∠ACB）$
=$180°-\frac{3}{4}（180°-∠A）=180°-\frac{3}{4}×180°+\frac{3}{4}∠A$=$\frac{1}{4}×180°+\frac{3}{4}∠A$．
故表達式仍然成立．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．