Question

3．如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，AD和過C點切線交于點D，和⊙O相交于E，且AC平分∠DAB．
（1）求證：∠ADC=90°；
（2）若AB=10，AD=8，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）由OA=OC知∠OAC=∠OCA，由AC平分∠DAB知∠DAC=∠OAC，從而得∠OCA=∠DAC，即可知AD∥OC，根據(jù)⊙O與CD相切，即∠OCD=90°可得∠ADC=180°-∠OCD=90°；
（2）作OF⊥AD，可知∠OFD=∠OCD=∠CDA=90°，得四邊形OCFD是矩形，即可知OC=DF=$\frac{1}{2}$AB=5、CD=OF，根據(jù)勾股定理得OF=CD=4．

解答 解：（1）∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD∥OC，
又∵⊙O與CD相切，
∴∠OCD=90°，
∴∠ADC=180°-∠OCD=90°；

（2）過點O作OF⊥AD于點F，

則∠OFD=∠OCD=∠CDA=90°，
∴四邊形OCFD是矩形，
∴OC=DF=$\frac{1}{2}$AB=5，CD=OF，
在Rt△OFA中，∵OA=5，AF=AD-DF=8-5=3，
∴OF=$\sqrt{O{A}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴CD=4．

點評 本題主要考查圓的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握圓的基本性質(zhì)和切線的性質(zhì)是解題的關鍵'．