Question

19．已知平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，在直線BA上截取BF=2AF，EF交BD于點G，則$\frac{GD}{GB}$的值為$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由平行四邊形的性質易證兩三角形相似，但是由于點F的位置未定，需分類討論．分兩種情況：（1）點F在線段AB上時；（2）點F在線段BA的延長線上時．

解答 解：（1）如圖1，點F在線段AB上時，設EF與DA的延長線交于H，
∵BC∥AD，
∴△EBF∽△HAF，
∴HA：BE=AF：BF=1：2，
即HA=$\frac{1}{2}$BE
∵BC∥AD，
∴△DHG∽△BEG，
∴BG：DG=BE：DH
∵BC=AD=2BE，
∴DH=AD+AH=2BE+$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5}{2}$BE，
∴$\frac{GD}{GB}$=$\frac{5}{2}$；

（2）如圖2，點F在線段BA的延長線上時，設EF與DA交于H，
∵BC∥AD，
∴△EBF∽△HAF，
∴HA：BE=AF：BF=1：2，
即HA=$\frac{1}{2}$BE，
∵BC∥AD，
∴△DHG∽△BEG，
∴BG：DG=BE：DH
∵BC=AD=2BE，
∴DH=AD+AH=2BE-$\frac{1}{2}$BE=$\frac{3}{2}$BE，
∴$\frac{GD}{GB}$=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質以及分類討論的數學思想；其中由相似三角形的性質得出比例式是解題關鍵．注意：求相似比不僅要認準對應邊，還需注意兩個三角形的先后次序．