Question

3．如圖，已知拋物線y=x²-（m+3）x+9的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，一次函數(shù)y=x+3與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與x、y軸交于D、E兩點(diǎn)．
（1）求m的值．
（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)P（a，b）（-3＜a＜1）是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積是△ABC面積的2倍時(shí)，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）拋物線的頂點(diǎn)在x軸的正半軸上可知其對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)判別式等于0可求得m的值；
（2）由（1）可求得拋物線解析式，聯(lián)立一次函數(shù)和拋物線解析式可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）分別過A、B、P三點(diǎn)作x軸的垂線，垂足分別為R、S、T，可先求得△ABC的面積，再利用a、b表示出△PAB的面積，根據(jù)面積之間的關(guān)系可得到a、b之間的關(guān)系，再結(jié)合P點(diǎn)在拋物線上，可得到關(guān)于a、b的兩個(gè)方程，可求得a、b的值．

解答 解：
（1）∵拋物線y=x²-（m+3）x+9的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，
∴方程x²-（m+3）x+9=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴（m+3）²-4×9=0，解得m=3或m=-9，
又拋物線對(duì)稱軸大于0，即m+3＞0，
∴m=3；
（2）由（1）可知拋物線解析式為y=x²-6x+9，聯(lián)立一次函數(shù)y=x+3，
可得$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-6x+9}\\{y=x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=9}\end{array}\right.$，
∴A（1，4），B（6，9）；
（3）如圖，分別過A、B、P三點(diǎn)作x軸的垂線，垂足分別為R、S、T，

∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b），
∴AR=4，BS=9，RC=3-1=2，CS=6-3=3，RS=6-1=5，PT=b，RT=1-a，ST=6-a，
∴S_△ABC=S_梯形ABSR-S_△ARC-S_△BCS=$\frac{1}{2}$×（4+9）×5-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×3×9=15，
S_△PAB=S_梯形PBST-S_梯形ABSR-S_梯形ARTP=$\frac{1}{2}$（9+b）（6-a）-$\frac{1}{2}$（b+4）（1-a）-$\frac{1}{2}$×（4+9）×5=$\frac{1}{2}$（5b-5a-15），
又S_△PAB=2S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$（5b-5a-15）=30，即b-a=15，
∴b=15+a，
∵P點(diǎn)在拋物線上，
∴b=a²-6a+9，
∴15+a=a²-6a+9，解得a=$\frac{7±\sqrt{73}}{2}$，
∵-3＜a＜1，
∴a=$\frac{7-\sqrt{73}}{2}$，
∴b=15+$\frac{7-\sqrt{73}}{2}$=$\frac{37-\sqrt{73}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、函數(shù)圖象的交點(diǎn)及三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中由頂點(diǎn)在x軸的正半軸上把問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程根的問題是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法，在（3）中用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出△PAB的面積是解題的關(guān)鍵．本題涉及知識(shí)點(diǎn)較多，計(jì)算量較大，有一定的難度．