Question

18．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，點(diǎn)E是∠BAC角平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線，過點(diǎn)A作AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，連接DB，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．
（1）如圖1，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，AC=2$\sqrt{3}$，求AB，BD的長(zhǎng)；
（2）如圖1，求證：HF=EF；
（3）如圖2，連接CF，CE．猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請(qǐng)證明；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)即可得到結(jié)果；
（2）如圖1，連接AF，證出△DAE≌△ADH，△DHF≌△AEF，即可得到結(jié)果；
（3）如圖2，取AB的中點(diǎn)M，連接CM，F(xiàn)M，在R_t△ADE中，AD=2AE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到AD=2FM，于是得到FM=AE，由∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°∠CMF=∠AMF-AMC=30°，證得△ACE≌△MCF，問題即可得證．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∵AD⊥AB，∠CAB=60°，
∴∠DAC=30°，
∵AH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{AH}{cos30°}$=2，
∴BD=$\sqrt{{AB}^{2}{+AD}^{2}}$=2$\sqrt{13}$；

（2）如圖1，連接AF，
∵AE是∠BAC角平分線，
∴∠HAE=30°，
∴∠ADE=∠DAH=30°，
在△DAE與△ADH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHD=∠DEA=90°}\\{∠ADE=∠DAH}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ADH，
∴DH=AE，
∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
∴DF=AF，
∵∠EAF=∠EAB-∠FAB=30°-∠FAB
∠FDH=∠FDA-∠HDA=∠FDA-60°=（90°-∠FBA）-60°=30°-∠FBA，
∴∠EAF=∠FDH，
在△DHF與△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DH=AE}\\{∠HDF=∠EAH}\\{DF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DHF≌△AEF，
∴HF=EF；

（3）如圖2，取AB的中點(diǎn)M，連接CM，F(xiàn)M，
∵F、M分別是BD、AB的中點(diǎn)，
∴FM∥AD，即FM⊥AB．
在R_t△ADE中，AD=2AE，
∵DF=BF，AM=BM，
∴AD=2FM，
∴FM=AE，
∵∠ABC=30°，
∴AC=CM=$\frac{1}{2}$AB=AM，
∵∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°∠CMF=∠AMF-∠AMC=30°，
在△ACE與△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CM}\\{∠CAE=∠CMF}\\{AE=MF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△MCF，
∴CE=CF，∠ACE=∠MCF，
∵∠ACM=60°，
∴∠ECF=60°，
∴△CEF是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．