Question

3．如圖，正方形ABCD的邊長為$\sqrt{3}$，點P是邊BC所在直線上的一個動點，連接PA，將線段PA繞點P順時針旋轉60°得到線段PF，PF與邊CD相交于點E．
（1）當點P在BC邊上運動時，
①如圖1，當∠BAP=30°，求PE的長；
②如圖2，點F與點E重合，求CE的長．
（2）如圖3，以點B為坐標原點建立平面直角坐標系，點P在邊BC所在直線（即x軸）上運動過程中，點F運動所形成的圖象是一條直線，
①求點F運動所形成的直線解析式；
②請直接寫出線段BF的最小值．

Answer 1

分析 （1）①在Rt△ABP中，求得BP=1，進而得到PC=BC-BP=$\sqrt{3}$-1，在Rt△CPE中，根據(jù)∠CEP=90°-∠CPE=30°，PC=$\sqrt{3}$-1，可得PE=2PC=2$\sqrt{3}$-2；
②連接AE，先判定Rt△ABP≌Rt△ADE，得出BP=DE，PC=EC，再設BP=x，在Rt△ABP中，AP²=AB²+BP²=3+x²，在Rt△PCE中，PE²=2PC²=2（$\sqrt{3}$-x）²，根據(jù)AP=PE，得出AP²=PE²，進而得到3+x²=2（$\sqrt{3}$-x）²，求得CE=PC=3-$\sqrt{3}$即可；
（2）①點F運動所形成的圖象是一條直線，只需求出此直線所經(jīng)過的兩點坐標即可．當點F₁在x軸上時，求得點F₁的坐標為（1，0），當點F₂在y軸上時，求得點F₂的坐標為（0，-$\sqrt{3}$），最后根據(jù)待定系數(shù)法，求得直線F₁F₂的解析式為y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$；
②在Rt△BF₁F₂中，設點B到F₁F₂的距離為h，則根據(jù)$\frac{1}{2}$×BF₁×BF₂=$\frac{1}{2}$×F₁F₂×h，求得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)垂線段最短，即可得到線段BF的最小值．

解答 解：（1）①如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=$\sqrt{3}$，∠ABC=∠BCD=90°，
在Rt△ABP中，∠BAP=30°，AB=$\sqrt{3}$，
∴∠APB=60°，BP=1，
∴PC=BC-BP=$\sqrt{3}$-1，
∵將線段PA繞點P順時針旋轉60°得到線段PF，
∴∠APF=60°，
∴∠CPE=60°，
在Rt△CPE中，∠CEP=90°-∠CPE=30°，PC=$\sqrt{3}$-1，
∴PE=2PC=2$\sqrt{3}$-2；

②如圖2，連接AE，
∵點F與點E重合，
∴AP=EP，
∵∠APE=60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴AP=AE，
在Rt△ABP和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AP=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABP≌Rt△ADE（HL），
∴BP=DE，
∴PC=EC，
設BP=x，（0＜x≤$\sqrt{3}$）則PC=DE=$\sqrt{3}$-x，
在Rt△ABP中，AP²=AB²+BP²=3+x²，
在Rt△PCE中，PE²=2PC²=2（$\sqrt{3}$-x）²，
∵AP=PE，
∴AP²=PE²，即：3+x²=2（$\sqrt{3}$-x）²，
∴解得x=2$\sqrt{3}$+3（舍去）或x=2$\sqrt{3}$-3，
∴CE=PC=3-$\sqrt{3}$；

（2）①∵點F運動所形成的圖象是一條直線，
∴只需求出此直線所經(jīng)過的兩點坐標即可，
如圖3，當點F₁在x軸上時，△P₁AF₁為等邊三角形，則
P₁A=P₁F₁=AF₁，∠AP₁E₁=60°，
∵AB⊥P₁F₁，∴P₁B=F₁B，∠ABP₁=90°，
∴∠P₁AB=30°，且AB=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：P₁A=P₁F₁=AF₁=2，
P₁B=F₁B=1，
∴點F₁的坐標為（1，0），
如圖3，當點F₂在y軸上時，
∵△P₂AF₂為等邊三角形，AB⊥P₂B，
∴AB=F₂B=$\sqrt{3}$，
∴點F₂的坐標為（0，-$\sqrt{3}$），
設直線F₁F₂的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得k=$\sqrt{3}$，
∴直線F₁F₂的解析式為y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$；

②BF的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
理由：在Rt△BF₁F₂中，設點B到F₁F₂的距離為h，則
$\frac{1}{2}$×BF₁×BF₂=$\frac{1}{2}$×F₁F₂×h，
∴$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{1}^{1}+（\sqrt{3}）^{2}}$×h，
解得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即線段BF的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題屬于四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，勾股定理的應用，等邊三角形的性質以及待定系數(shù)法的運用等，解決問題的關鍵是作輔助線構造等邊三角形以及全等三角形，解題時注意勾股定理、等邊三角形三線合一以及方程思想的靈活運用．