Question

10．如圖，在Rt△AOB中，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，OB=4，∠A=30°，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度先沿OB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再沿BA方向運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，以O(shè)P，OC為鄰邊構(gòu)造?OPDC．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，S?OPDC=2$\sqrt{3}$t（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)?OPDC的面積為6$\sqrt{3}$時(shí)，求t的值；
（3）連接OD，作點(diǎn)C關(guān)于直線OD的對(duì)稱點(diǎn)C′落在△AOB的邊上時(shí)，則t=4或$\frac{28}{3}$．（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB，垂足為E．先依據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)可證明OC=OB=BC，然后可求得CE的長(zhǎng)，最后依據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，由S=2$\sqrt{3}$t可求得t的值；當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，垂足為E．然后求得OE的長(zhǎng)，最后依據(jù)平行四邊形的面積=2△COP的面積=CP•OE可求得PC的長(zhǎng)，從而可求得t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，可證明四邊形OPDC為菱形，則點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于OD對(duì)稱；當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)C關(guān)于OD的對(duì)稱點(diǎn)E在OB上，可證明△BFC和△FCP均為直角三角形且∠PFC=30°，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值依次求得FC和PC的長(zhǎng)，從而可求得t的值．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB，垂足為E．

∵在Rt△AOB中，OB=4，∠A=30°，
∴AB=8，∠B=60°．
∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，
∴OC=4．
∴△ABC為等邊三角形．
∴EC=sin60°•OC=2$\sqrt{3}$．
∴平行四邊形OPDC的面積=OP•CP=2$\sqrt{3}$t．
故答案為：2$\sqrt{3}$t．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，2$\sqrt{3}$t=6$\sqrt{3}$，解得t=3．
如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)．過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，垂足為E．

∵△OBC為等邊三角形，OE⊥BC，
∴OE=sin60°OC=2$\sqrt{3}$．
∴平行四邊形的面積=2△COP的面積=2×$\frac{1}{2}$×CP•OE=2$\sqrt{3}$CP=6$\sqrt{3}$．
∴CP=3，PB=1．
∴t=5．
當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P′處時(shí)，P′B=3+4=7，
∴t=4+7=11．

（3）如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)．

∵△APC為等邊三角形，
∴OC=OP．
∵四邊形OPDC為平行四邊形，
∴四邊形OPDC為菱形．
∴點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于OD對(duì)稱．
∴t=4．
如圖4所示：當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)C關(guān)于OD的對(duì)稱點(diǎn)E在OB上．

∵△OAC為等邊三角形，∠BOA=90°，
∴∠FOC=30°．
∵PD∥OC，
∴∠EFP=∠FOC=30°．
由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知∠EFP=∠CFP=30°．
∴∠BFC=60°．
又∵∠B=30°，
∴∠BCF=90°．
在Rt△BFC中，F(xiàn)C=BC•tan30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∵Rt△FCP中，∠PFC=30°，F(xiàn)C=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴PC=FC•tan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4}{3}$．
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程=OA+AC+PC=4+4+$\frac{4}{3}$=$\frac{28}{3}$．
∴t=$\frac{28}{3}$．
綜上所述t=4或t=$\frac{28}{3}$時(shí)，C關(guān)于直線OD的對(duì)稱點(diǎn)C′落在△AOB的邊上．
故答案為：4或$\frac{28}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了直角三角形的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)，翻折的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫(huà)出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．