Question

14．規(guī)定：如果關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．現(xiàn)有下列結(jié)論：
①方程x²+2x-8=0是倍根方程；
②若關(guān)于x的方程x²+ax+2=0是倍根方程，則a=±3；
③若關(guān)于x的方程ax²-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，則拋物線y=ax²-6ax+c與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）和（4，0）；
④若點(diǎn)（m，n）在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上，則關(guān)于x的方程mx²+5x+n=0是倍根方程．
上述結(jié)論中正確的有（　�。�

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①通過解方程得到該方程的根，結(jié)合“倍根方程”的定義進(jìn)行判斷；
②設(shè)x₂=2x₁，得到x₁•x₂=2x₁²=2，得到當(dāng)x₁=1時(shí)，x₂=2，當(dāng)x₁=-1時(shí)，x₂=-2，于是得到結(jié)論；
③根據(jù)“倍根方程”的定義即可得到結(jié)論；
④若點(diǎn)（m，n）在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上，得到mn=4，然后解方程mx²+5x+n=0即可得到正確的結(jié)論；

解答 解：①由x²-2x-8=0，得
（x-4）（x+2）=0，
解得x₁=4，x₂=-2，
∵x₁≠2x₂，或x₂≠2x₁，
∴方程x²-2x-8=0不是倍根方程．
故①錯(cuò)誤；
②關(guān)于x的方程x²+ax+2=0是倍根方程，
∴設(shè)x₂=2x₁，
∴x₁•x₂=2x₁²=2，
∴x₁=±1，
當(dāng)x₁=1時(shí)，x₂=2，
當(dāng)x₁=-1時(shí)，x₂=-2，
∴x₁+x₂=-a=±3，
∴a=±3，故②正確；
③關(guān)于x的方程ax²-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x₂=2x₁，
∵拋物線y=ax²-6ax+c的對稱軸是直線x=3，
∴拋物線y=ax²-6ax+c與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）和（4，0），
故③正確；
④∵點(diǎn)（m，n）在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上，
∴mn=4，
解mx²+5x+n=0得x₁=-$\frac{2}{m}$，x₂=-$\frac{8}{m}$，
∴x₂=4x₁，
∴關(guān)于x的方程mx²+5x+n=0不是倍根方程；
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根與系數(shù)的關(guān)系，正確的理解倍根方程的定義是解題的關(guān)鍵．