Question

19．已知關(guān)于x的方程x²+（2m-1）x+m²=0有實(shí)數(shù)根，
（1）求m的取值范圍；
（2）若方程的一個(gè)根為1，求m的值；
（3）設(shè)α、β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù)m使得α²+β²-αβ=6成立？如果存在，請(qǐng)求出來(lái)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得到△=（2m-1）²-4m²≥0，然后解不等式即可；
（2）把x=1代入原方程可得到關(guān)于m的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=-（2m-1），αβ=m²，利用α²+β²-αβ=6得到（α+β）²-3αβ=6，則（2m-1）²-3m²=6，然后解方程后利用（1）中m的范圍確定m的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=（2m-1）²-4m²≥0，
解得m≤$\frac{1}{4}$；
（2）把x=1代入方程得1+2m-1+m²=0，
解得m₁=0，m₂=-2，
即m的值為0或-2；
（3）存在．
根據(jù)題意得α+β=-（2m-1），αβ=m²，
∵α²+β²-αβ=6，
∴（α+β）²-3αβ=6，
即（2m-1）²-3m²=6，
整理得m²-4m-5=0，解得m₁=5，m₂=-1，
∵m≤$\frac{1}{4}$；
∴m的值為-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，反過(guò)來(lái)也成立．也考查了根的判別式．