Question

10．如圖，已知直線l經(jīng)過點A（1，0），與雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）交于點B（2，1）．過點P（p，p-1）（其中p＞1）作 軸的平行線分別交雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）和y=-$\frac{m}{x}$（x＜0）于點M、N．
（1）求m的值；
（2）求直線l的解析式；
（3）是否存在實數(shù)p，使得S_△AMN=4S_△AMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點B的坐標代入拋物線解析式求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（3）根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比可得MN=4MP，再根據(jù)反比例函數(shù)解析式表示出點M、N，然后表示出MN、MP，最后列出方程求解即可．

解答 解：（1）將點B（2，1）代入y=$\frac{m}{x}$得，m=1×2=2；

（2）設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
將點A（1，0），B（2，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
所以，直線l：y=x-1；

（3）存在．理由如下：
∵S_△AMN=4S_△AMP，MN∥x軸，
∴NM=4MP，
設(shè)M（$\frac{2}{p-1}$，p-1），N（-$\frac{2}{p-1}$，p-1），
則MN=$\frac{4}{p-1}$，MP=|p-$\frac{2}{p-1}$|，
①$\frac{4}{p-1}$=4（p-$\frac{2}{p-1}$），解得p₁=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，p₂=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$（舍去），
②$\frac{4}{p-1}$=4（$\frac{2}{p-1}$-p），解得p₃=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，p₄=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
綜上，滿足條件的p的值為$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，學(xué)會待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解方程組以及會計算三角形的面積的知識．注意點在反比例函數(shù)圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式．