Question

1．在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中E是BC邊上的中點(diǎn)，連接AE，Q是線段AE上的動(dòng)點(diǎn)，P是射線AD上的動(dòng)點(diǎn)，AP=x，AQ=y，△APQ的面積始終=5，
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)△APQ為直角三角形；
（3）在（2）的條件下，以D為圓心，r為半徑的圓與直線PQ相切，求r；
（4）求以PQ為邊長(zhǎng)的正方形面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）作QH⊥AD于點(diǎn)H，則AB∥QH，證得△ABE∽△QHA，得出$\frac{y}{\sqrt{5}}$=$\frac{QH}{2}$，進(jìn)而得出QH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y，根據(jù)S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$x•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y=5，即可求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）證得△APQ∽△EAB，得出$\frac{y}{BE}$=$\frac{x}{AE}$，得出$\frac{\frac{5\sqrt{5}}{x}}{1}$=$\frac{x}{\sqrt{5}}$，解得x=5，從而得出當(dāng)x=5時(shí)△APQ為直角三角形；
（3）設(shè)切點(diǎn)為F，連接DF，則DF⊥PQ，得出DF∥AQ，進(jìn)一步得出△PDF∽△PAQ，得出$\frac{3}{5}$=$\frac{DF}{\sqrt{5}}$，即可求得圓的半徑r=DF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
（4）由△ABE∽△QHA得出AH=$\frac{1}{2}$QH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$y，則PH=x-$\frac{\sqrt{5}}{5}$y，根據(jù)勾股定理求得PQ²=PH²+QH²=（x-$\frac{\sqrt{5}}{5}$y）²+（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y）²=（x-$\frac{5}{x}$）²+（$\frac{10}{x}$）²=x²+$\frac{125}{{x}^{2}}$-10，因?yàn)閤²+$\frac{125}{{x}^{2}}$≥2x•$\frac{\sqrt{125}}{x}$=10$\sqrt{5}$，所以PQ²的最小值為10$\sqrt{5}$-10．

解答 解：（1）∵AB=2，BE=1，
∴AE=$\sqrt{5}$，
作QH⊥AD于點(diǎn)H，則AB∥QH．
∵AB∥QH，
∴∠BAE=∠AQH，
又∵∠B=∠AHQ=90°，
∴△ABE∽△QHA，
∴$\frac{AQ}{AE}=\frac{QH}{AB}$，即$\frac{y}{\sqrt{5}}$=$\frac{QH}{2}$，
∴QH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y，
∵∴y=$\frac{5\sqrt{5}}{x}$（0≤x≤5）；

（2）如圖2，當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，∠AQP=∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAQ=∠AEB，
∴△APQ∽△EAB．
∴$\frac{y}{BE}$=$\frac{x}{AE}$，
∵AE=$\sqrt{5}$，BE=1，
∴$\frac{\frac{5\sqrt{5}}{x}}{1}$=$\frac{x}{\sqrt{5}}$，
∴x=5，
∴當(dāng)x=5時(shí)△APQ為直角三角形；

（3）如圖2，設(shè)切點(diǎn)為F，連接DF，則DF⊥PQ，
∴DF∥AQ，
∴△PDF∽△PAQ，
∴$\frac{PD}{PA}$=$\frac{DF}{AQ}$，
∵x=5時(shí)，y=$\frac{5\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{DF}{\sqrt{5}}$，
∴DF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴r=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；

（4）如圖1，∵△ABE∽△QHA，
∴$\frac{AH}{QH}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AH=$\frac{1}{2}$QH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$y，
∴PH=x-$\frac{\sqrt{5}}{5}$y，
∴PQ²=PH²+QH²=（x-$\frac{\sqrt{5}}{5}$y）²+（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y）²，
∵y=$\frac{5\sqrt{5}}{x}$，
∴PQ²=（x-$\frac{5}{x}$）²+（$\frac{10}{x}$）²=x²+$\frac{125}{{x}^{2}}$-10，
∵x²+$\frac{125}{{x}^{2}}$≥2x•$\frac{\sqrt{125}}{x}$=10$\sqrt{5}$，
∴PQ²的最小值為10$\sqrt{5}$-10；
∴正方形面積的最小值是10$\sqrt{5}$-10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，充分利用正方形的性質(zhì)和三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．