Question

5．如圖，已知點O是△ABC的兩條角平分線的交點，
（1）若∠A=30°，則∠BOC的大小是105°；
（2）若∠A=60°，則∠BOC的大小是120°；
（3）若∠A=n°，則∠BOC的大小是多少？試用學(xué)過的知識說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)得到∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，等量代換得到∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)得到∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，等量代換得到∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)得到∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，等量代換得到∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵如圖，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A+90°=105°；
（2）∵如圖，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A+90°=120°；
（3）∵如圖，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A+90°=105°；
∴若∠A=n°，∠BOC=$\frac{1}{2}$n°+90°；
故答案為：105°，120°．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件以及三角形的外角通常情況下是轉(zhuǎn)化為內(nèi)角來解決．