Question

6．如圖一，在矩形AOBC中，OA=8，OB=6，以O(shè)B，OA所在的直線建立直角坐標(biāo)系xOy，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AB，OD交于點(diǎn)E，AB⊥OD，垂足為E．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖二，點(diǎn)M從點(diǎn)E出發(fā)，沿線段EO向點(diǎn)O運(yùn)動，點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長度，其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
①求t為何值時(shí)，△MOF與△AOB相似？
②設(shè)△OMF的面積S_△OMF，請用含t的代數(shù)式表示S_△OMF，當(dāng)FA＞3ME時(shí)，確定在運(yùn)動過程中是否存在某一時(shí)刻t，使得S_△OMF：S_△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△BOD∽△OAB，列出比例式$\frac{BD}{OB}$=$\frac{OB}{AO}$，求得BD的長即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）①分兩種情況討論：當(dāng)MF⊥AO時(shí)，△MFO∽△AOB；當(dāng)FM⊥OD時(shí)，△FOM∽△ABO，分別根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，列出方程式求解即可；
②過點(diǎn)M作MG⊥AO于G，根據(jù)△MOG∽△ABO，求得MG=$\frac{96}{25}-\frac{4}{5}t$，再根據(jù)S_△OMF：S_△ABC=9：100，列出關(guān)于t的方程式，求得t的值并進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

解答 解：（1）∵在矩形AOBC中，OA=8，OB=6，AB⊥OD，
∴∠OBD=∠AOB=90°，∠BOD=∠OAB，AB=10，
∴△BOD∽△OAB，
∴$\frac{BD}{OB}$=$\frac{OB}{AO}$，即$\frac{BD}{6}$=$\frac{6}{8}$，
∴BD=4.5，
∴D（6，4.5）；

（2）①由題可得OF=t，EM=t，
Rt△AOB中，OE=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
如圖所示，當(dāng)MF⊥AO時(shí)，△MFO∽△AOB，

此時(shí)，$\frac{OF}{BO}$=$\frac{OM}{BA}$，
即$\frac{t}{6}$=$\frac{\frac{24}{5}-t}{10}$，
解得t=1.8；
如圖所示，當(dāng)FM⊥OD時(shí)，△FOM∽△ABO，

此時(shí)，$\frac{OF}{AB}$=$\frac{OM}{BO}$，
即$\frac{t}{10}$=$\frac{\frac{24}{5}-t}{6}$，
解得t=3；
綜上所述，當(dāng)t為1.8秒或3秒時(shí)，△MOF與△AOB相似；

②如圖所示，過點(diǎn)M作MG⊥AO于G，則∠OGM=∠BOA，∠GOM=∠OBA，

∴△MOG∽△ABO，
∴$\frac{MG}{MO}$=$\frac{AO}{AB}$，即$\frac{MG}{\frac{24}{5}-t}$=$\frac{8}{10}$，
解得MG=$\frac{96}{25}-\frac{4}{5}t$，
∵S_△OMF：S_△ABC=9：100，
∴$\frac{\frac{1}{2}×OF×MG}{\frac{1}{2}×AC×BC}$=$\frac{9}{100}$，即$\frac{t×（\frac{96}{25}-\frac{4}{5}t）}{6×8}$=$\frac{9}{100}$，
解得t₁=3，t₂=1.8，
∵FA＞3ME，
∴8-t＞3t，
解得t＜2，
∴t₂=1.8符合題意，
∴存在當(dāng)t=1.8時(shí)，S_△OMF：S_△ABC=9：100．

點(diǎn)評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算．