Question

11．△ABC中，BC=18，AC=12，AB=9，點(diǎn)D，E分別是直線AB，AC上的兩個(gè)點(diǎn)，AE=4．若由A，D，E構(gòu)成的三角形與△ABC相似，則DB的長(zhǎng)為6或$\frac{11}{3}$或12或$\frac{43}{3}$．

Answer 1

分析 由A，D，E構(gòu)成的三角形與△ABC相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，分四種情況討論，即可求得DB的長(zhǎng)．

解答 解：∵由A，D，E構(gòu)成的三角形與△ABC相似，
分四種情況：
①當(dāng)△ADE∽△ABC時(shí)，如圖1所示
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$，
∴AD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}$×9=3，
則BD=AB-AD=6；
②△ADE∽△ACB時(shí)，如圖2所示：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴AD=$\frac{AE•AC}{AB}$=$\frac{4×12}{9}$=$\frac{16}{3}$，
∴BD=AB-AD=9-$\frac{16}{3}$=$\frac{11}{3}$；
③△ADE∽△ABC時(shí)，如圖3所示：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$，
∴AD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}$×9=3，
則BD=AB+AD=12；
④△ADE∽△ACB時(shí)，如圖4所示：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴AD=$\frac{AE•AC}{AB}$=$\frac{4×12}{9}$=$\frac{16}{3}$，
∴BD=AB+AD=9+$\frac{16}{3}$=$\frac{43}{3}$；
綜上所述：DB的長(zhǎng)為：6或$\frac{11}{3}$或12或$\frac{43}{3}$；
故答案為：6或$\frac{11}{3}$或12或$\frac{43}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．