Question

1．（1）如圖1，點(diǎn)P在⊙O外，PC是⊙O的切線、切點(diǎn)為C，直線PO與⊙O相交于點(diǎn)A、B，求∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系；
（2）在（1）的條件下，若∠A=30°，則PB與⊙O的半徑有什么關(guān)系？
（3）若AB是圓的任意一條直徑，C為⊙O上任意一點(diǎn)，連接CA，∠A可能等于45°嗎？若∠A=45°，則過點(diǎn)C的切線與AB有怎樣的位置關(guān)系？
（4）在（3）條件下，若∠A＞45°，則過點(diǎn)C的切線與直線AB的交點(diǎn)P的位置將在哪里？

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖（1），根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OCP=90°，則∠P+∠POC=90°，由于∠A=∠OCA，則∠POC=∠A+∠OCA=2∠A，所以∠P+2∠A=90°；
（2）由（1）得，當(dāng)∠A=30°時(shí)，∠P=30°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得PO=2OC，則PB=OB，即PB與⊙O的半徑相等；
（3）如圖（2），點(diǎn)C為半圓AB的中點(diǎn)，PC為⊙O的切線，連結(jié)OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，再利用CA弧=CB弧可得∠A=∠B=45°，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OC⊥AB，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥PC，
于是可判斷PC∥AB，所以當(dāng)∠A=45°，過點(diǎn)C的切線與AB平行；
（4）當(dāng)∠A＞45°，判斷弧AC＜弧BC，則過點(diǎn)C的切線與直線AB的交點(diǎn)P在BA的延長線上．

解答 解：（1）連結(jié)OC，如圖（1），
∵PC是⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∴∠P+∠POC=90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∴∠POC=∠A+∠OCA=2∠A，
∴∠P+2∠A=90°，
即∠P=90°-2∠A；
（2）當(dāng)∠A=30°時(shí)，∠P=90°-2×30°=30°，
∴PO=2OC，
即PB+OB=2OB，
∴PB=OB，
即PB與⊙O的半徑相等；
（3）∠A有可能等于45°，如圖（2），點(diǎn)C為半圓AB的中點(diǎn)，PC為⊙O的切線，連結(jié)OC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
而CA弧=CB弧，
∴∠A=∠B=45°，
∴OC⊥AB，
而PC為切線，
∴OC⊥PC，
∴PC∥AB，
∴當(dāng)∠A=45°，過點(diǎn)C的切線與AB平行；
（4）如圖（3），當(dāng)∠A＞45°，而∠ACB=90°，所以∠CAB＞∠B，弧AC＜弧BC，則過點(diǎn)C的切線與直線AB的交點(diǎn)P在BA的延長線上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了圓周角定理和等腰三角形的判定．