Question

20．已知，關(guān)于x的方程x²-4x+3-k=0．
（1）當(dāng)k為何值時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程有一根2+$\sqrt{3}$，求k的值及方程的另一根．

Answer 1

分析 （1）先求出△，再根據(jù)根的判別式即可求出k的值；
（2）先把x=2+$\sqrt{3}$代入方程可計(jì)算出k，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算出另一個(gè)根即可．

解答 解：（1）該方程的判別式為：△=（-4）²-4（3-k）=4+4k，
∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴4+4k＞0，
解得：k＞-1；
∴當(dāng)k＞-1時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）把x=2+$\sqrt{3}$代入方程得：（2+$\sqrt{3}$）²-4（2+$\sqrt{3}$）+3-k=0．
解得k=2，
設(shè)方程另一個(gè)根為t，
則2$+\sqrt{3}$+t=4，
解得：t=2-$\sqrt{3}$，
即另一根為2-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系．