Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax²+3x+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點A坐標為（1，0），對稱軸與x軸交于H，頂點為D，AB=4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M為對稱軸左側(cè)拋物線上的點，直線MN過點H交拋物線于另一點N，連接DM、DN，求證：∠MDN=90°；
（3）在（2）的條件下，過M點作y軸的平行線交直線DN于點E，若DE=$\frac{10}{3}$，求M點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由題意可知B（5，0），A（1，0）可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），展開后對應(yīng)項系數(shù)相等即可解決問題．
（2）如圖1中，過點D作直線FG⊥DH，分別過M、N作NG⊥FG，MF⊥FG垂足分別為G、F．設(shè)過點H（3，0）的直線MN的解析式為y=kx+m，則m=-3k，想辦法證明
Rt△DMF∽Rt△NDG，即可解決問題．
（3）如圖2中，由（2）可知，F(xiàn)（x₁，2），△DEF∽△MDF，推出$\frac{EF}{DF}$=$\frac{DF}{FM}$，即EF•FM=DF²，由M（x₁，y₁）在拋物線上，可得y₁=-$\frac{1}{2}$x₁²+3x₁-$\frac{5}{2}$，所以FM=2-y₁=$\frac{1}{2}$x₁²-3x₁+$\frac{9}{2}$，因為DF=3-x₁，所以DF²=x₁²-6x₁+9=2（$\frac{1}{2}$x₁²-3x₁+$\frac{9}{2}$）=2FM，所以EF•FM=2FM，推出EF=2，當DE=$\frac{10}{3}$時，DF=$\sqrt{D{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，x₁=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，再求出y₁即可解決問題．

解答 解：（1）∵A（1，0），AB=4，直線AH為拋物線的對稱軸，∴AH=HB=2，B（5，0），
可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），
∴y=ax²-6ax+5a=ax²+3x+c，
∴-6a=3，c=5a，
∴a=-$\frac{1}{2}$，c=-$\frac{5}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{2}$．

（2）如圖1中，

∵y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+2，
∴D（3，2），H（3，0），
過點D作直線FG⊥DH，分別過M、N作NG⊥FG，MF⊥FG垂足分別為G、F．
設(shè)過點H（3，0）的直線MN的解析式為y=kx+m，則m=-3k，
∴MN的解析式為y=kx-3k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3k}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+3x-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$消去y得到x²+（2k-6）x+5-6k=0，
記M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=6-2k，x₁x₂=5-6k，
∴（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5-6k+6k-9=-4，
∵M、N在直線y=kx-3k上，
∴y₁=kx₁-3k，y₂=kx₂-3k，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-6k=k（6-2k）-6k=-2k²，
y₁•y₂=（kx₁-3k）（kx₂-3k）=k²（x₁-3）（x₂-3）=-4k²，
∵D（3，2），
∴F（x₁，2），G（x₂，2），
∴FM=2-y₁，N=2-y₂，F(xiàn)D=3-x₁，DG=x₂-3，
∴FM•GN-DF•DG=（2-y₁）（2-y₂）-（3-X₁）（x₂-3）=4-2（y₁+y₂）+y₁y₂-4=4-2（-2k²）-4k²-4=0，
∴FM•GN=DF•DG，
∴$\frac{DF}{FM}$=$\frac{NG}{DG}$，
∴Rt△DMF∽Rt△NDG，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠MDN=90°．

（3）如圖2中，由（2）可知，F(xiàn)（x₁，2），

∵MD⊥DE，DF⊥EM可知△DEF∽△MDF，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{DF}{FM}$，
∴EF•FM=DF²，
∵M（x₁，y₁）在拋物線上，
∴y₁=-$\frac{1}{2}$x₁²+3x₁-$\frac{5}{2}$，
∴FM=2-y₁=$\frac{1}{2}$x₁²-3x₁+$\frac{9}{2}$，
∵DF=3-x₁，
∴DF²=x₁²-6x₁+9=2（$\frac{1}{2}$x₁²-3x₁+$\frac{9}{2}$）=2FM，
∴EF•FM=2FM，
∴EF=2，當DE=$\frac{10}{3}$時，DF=$\sqrt{D{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，
∴x₁=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，y₁=-$\frac{1}{2}$（x₁-1）（x₁-5）=-$\frac{14}{9}$，
∴M（$\frac{1}{3}$，-$\frac{14}{9}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法、一次函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，題目比較難，有一定的代數(shù)化簡技巧，屬于中考壓軸題．