Question

10．如圖，CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為G，OG：OC=3：5，AB=8．
（1）求⊙O的半徑；
（2）點E為圓上一點，∠ECD=15°，將$\widehat{CE}$沿弦CE翻折，交CD于點F，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據AB⊥CD，垂足為G，OG：OC=3：5，AB=8，可以求得⊙O的半徑；
（2）要求陰影部分的面積只要做出合適的輔助線，然后利用銳角三角函數、扇形的面積和三角形的面積即可解答本題．

解答 解：（1）連接AO，如右圖1所示，
∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，AB=8，
∴AG=$\frac{1}{2}AB$=4，
∵OG：OC=3：5，AB⊥CD，垂足為G，
∴設⊙O的半徑為5k，則OG=3k，
∴（3k）²+4²=（5k）²，
解得，k=1或k=-1（舍去），
∴5k=5，
即⊙O的半徑是5；
（2）如圖2所示，將陰影部分沿CE翻折，點F的對應點為M，
∵∠ECD=15°，由對稱性可知，∠DCM=30°，S_陰影=S_弓形CBM，
連接OM，則∠MOD=60°，
∴∠MOC=120°，
過點M作MN⊥CD于點N，
∴MN=MO•sin60°=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴S_陰影=S_扇形OMC-S_△OMC=$\frac{120×π×{5}^{2}}{360}-\frac{1}{2}×5×\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25π}{3}-\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
即圖中陰影部分的面積是：$\frac{25π}{3}-\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查垂徑定理、扇形的面積、翻折變換，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答問題．