Question

3．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)P，作PM⊥AD于點(diǎn)M，PN⊥CD于點(diǎn)N，連接BP，BN，若AB=3，BP=$\sqrt{5}$，則BN的長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\sqrt{15}$
• B． $\sqrt{13}$或$\sqrt{10}$
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 延長(zhǎng)NP交AB于H．易知AH=PH，設(shè)AH=PH=x，則BH=3-x，在Rt△PBH中，根據(jù)PB²=PH²+BH²，可得x²+（3-x）²=（$\sqrt{5}$）²，推出x=1或2，接下來(lái)分兩種情形分別求出BN即可．

解答 解：延長(zhǎng)NP交AB于H．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=90°，AB∥CD，
∵PN⊥CD，
∴PN⊥AB，
∴∠HAP=∠HPA=45°，
∴AH=PH，設(shè)AH=PH=x，則BH=3-x，
在Rt△PBH中，∵PB²=PH²+BH²，
∴x²+（3-x）²=（$\sqrt{5}$）²，
∴x=1或2，
當(dāng)x=1時(shí)，BH=CN=2，在Rt△BCN中，BN=$\sqrt{B{C}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
當(dāng)x=2時(shí)，BH=CN=1，在Rt△BCN中，BN=$\sqrt{B{C}^{2}+C{N}^{2}}$=，$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
綜上所述，BN的長(zhǎng)為$\sqrt{13}$或$\sqrt{10}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．