Question

13． 如圖，在直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1上取一點A₁，以O、A₁為頂點作等一個等邊三角形OA₁B₁，再在直線上取一點A₂，以A₂、B₁為頂點作第二個等邊三角形A₂B₁B₂，…，一直這樣做下去，則B₁點的坐標為（$\sqrt{3}$，0），第10個等邊三角形的邊長為2⁹$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作A₁D⊥x軸于D，A₂E⊥x軸于E，根據(jù)等邊三角形的性質得OD=B₁D，B₁E=B₂E，∠OA₁D=30°，∠B_1A2E=30°，設OD=t，B₁E=a，則A₁D=$\sqrt{3}$t，A₂E=$\sqrt{3}$a，則A₁點坐標為（t，$\sqrt{3}$t），把A₁（t，$\sqrt{3}$t）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1可解得t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是得到B₁點的坐標為（$\sqrt{3}$，0），OB₁=$\sqrt{3}$，則A₂點坐標為（$\sqrt{3}$+a，$\sqrt{3}$a），然后把A₂代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1可解得a=$\sqrt{3}$，B₁B₂=2$\sqrt{3}$，同理得到B₂B₃=4$\sqrt{3}$，…，按照此規(guī)律得到B₉B₁₀=2⁹$\sqrt{3}$．

解答 解：作A₁D⊥x軸于D，A₂E⊥x軸于E，如圖，
∵△OA₁B₁、△B₁A₂B₂均為等邊三角形，
∴OD=B₁D，B₁E=B₂E，∠OA₁D=30°，∠B_1A2E=30°，
設OD=t，B₁E=a，則A₁D=$\sqrt{3}$t，A₂E=$\sqrt{3}$a，
∴A₁點坐標為（t，$\sqrt{3}$t），
把A₁（t，$\sqrt{3}$t）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1得$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+1，解得t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OB₁=$\sqrt{3}$，
∴B₁點的坐標為（$\sqrt{3}$，0），
∴A₂點坐標為（$\sqrt{3}$+a，$\sqrt{3}$a），
把A₂（$\sqrt{3}$+a，$\sqrt{3}$a）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1得$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\sqrt{3}$+a）+1，解得a=$\sqrt{3}$，
∴B₁B₂=2$\sqrt{3}$，
同理得到B₂B₃=2²$\sqrt{3}$，…，按照此規(guī)律得到B₉B₁₀=2⁹$\sqrt{3}$．
故答案為（$\sqrt{3}$，0），2⁹$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征：一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線，直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=kx+b．也考查了等邊三角形的性質．