Question

12．如圖，已知AC∥BF
（1）如圖1，AH平分∠CAE．BH平分∠EBF，求證：2∠AHB+∠E=360°；
（2）如圖2．∠CAH=$\frac{1}{3}$∠CAE，∠EBH=$\frac{2}{3}$∠FBE，直接寫出∠H與∠E的數(shù)量關系∠AEB=3∠AHB；
（3）在（2）的條件下．如圖3，∠CAE=55°，∠FBE=80°．HA平分∠NHM，HB平分∠NHI，K是FI的中點，BK=$\frac{1}{2}$MF，S_△BHM=5，HI=2，求點B到HM的距離．

Answer 1

分析 （1）作HG∥AC，則AC∥HG∥BF，由平行線的性質(zhì)得出∠1=∠3，∠4=∠5，再由角平分線和四邊形內(nèi)角和即可得出結論；
（2）作EM∥AC，HN∥AC，設∠CAH=x，∠FBH=y，則∠CAE=3x．∠FBE=3y，同（1）得：∠AEB=3x+3y，∠AHB=x+y，即可得出結論；
（3）先證出BI=BM，得出S_△BIH=S_△BHM=5，同（1）得：∠AEB=∠CAE+∠FBE=135°，得出∠AHB=$\frac{1}{3}$∠AEB=45°，再由角平分線和角的關系證出∠MHI=90°，由三角形面積求出MH=10，作BD⊥MH于D，再由三角形面積求出BD=1即可．

解答 （1）證明：作HG∥AC，如圖1所示：
∵AC∥BF，
∴AC∥HG∥BF，
∴∠1=∠3，∠4=∠5，
∴∠AHB=∠1+∠5，
∵AH平分∠CAE．BH平分∠EBF，
∴∠1=∠2，∠5=∠6，
∴∠AHB=∠2+∠6，
∵，在四邊形AHBE中，∠AHB+∠2+∠6+∠E=360°，
∴2∠AHB+∠E=360°；
（2）解：∠AEB=3∠AHB，理由如下：
作EM∥AC，HN∥AC，如圖2所示：
設∠CAH=x，∠FBH=y，
∵∠CAH=$\frac{1}{3}$∠CAE，∠EBH=$\frac{2}{3}$∠FBE，
∴∠CAE=3x．∠FBE=3y，
同（1）得：∠AEB=3x+3y，∠AHB=x+y，
∴∠AEB=3∠AHB；
故答案為：∠AEB=3∠AHB；
（3）解：∵K是FI的中點，BK=$\frac{1}{2}$MF，
∴BI=BM，
∴S_△BIH=S_△BHM=5，
同（1）得：∠AEB=∠CAE+∠FBE=55°+80°=135°，
∴∠AHB=$\frac{1}{3}$∠AEB=45°，
∵HA平分∠NHM，HB平分∠NHI，
∴∠AHN=∠AHM，
∴∠BHN=∠BHI，
設∠AHN=∠AHM=x，∠BHN=∠AHI=y，則x+y=45°，
∴∠MHI=2x+y+y=90°，
∴△MHI的面積=$\frac{1}{2}$×HI×MH=2×5=10，
∴HI×MH=20，
∵HI=2，
∴MH=10，
作BD⊥MH于D，如圖3所示：
則$\frac{1}{2}$MH•BD=5，
∴MH•BD=10，
∴BD=1，
即點B到HM的距離為1．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、四邊形內(nèi)角和定理、三角形面積的計算等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（3）中，證明∠MHI=90°是解決問題的關鍵．