Question

4．如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC＜2AC，動點D從C點出發(fā)以每秒3個單位的速度沿射線CB運動，同時點E從C點出發(fā)以每秒4個單位的速度沿射線CA運動，并在射線CD上截取DF=DE（點F在點D的右側(cè)），連接EF，設點D運動的時間為t（s），△DEF與△ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜t≤a，a＜t≤$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$＜t≤c時，函數(shù)的解析式不同）
（1）填空：a的值為1；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當重疊部分為完整的△DEF的面積時，求出S_△DEF=$\frac{1}{2}$CE•DF=$\frac{1}{2}$×5t×4t=10t²，即F與B重合時，是邊界，列式10t²=10，可求出t=1，即a=1；
（2）分三種情況：①如圖1，當0＜t≤1時，S=S_△DEF=10t²，②當1＜t≤$\frac{3}{2}$時，如圖5，重疊部分為△DEF和△BGF面積的差；③當D與B重合時，S=0，則c=8÷3=$\frac{8}{3}$，當$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{8}{3}$時，如圖6，重疊部分的面積為△BDG的面積．

解答 解：（1）由題意得：CD=3t，CE=4t，
由勾股定理得：DE=5t，
∴DF=DE=5t，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$CE•DF=$\frac{1}{2}$×5t×4t=10t²，
當10t²=10時，
t=±1，
∴a=1，
故答案為：1；
（2）由圖2可知：當t=1時，△DEF與△ABC重疊部分的面積為△DEF的面積，
①如圖1，當0＜t≤1時，S=S_△DEF=10t²，
如圖3，當t=1時，此時F與B重合，
BC=CD+DF=3t+5t=8t=8
由圖2可知：當t=$\frac{3}{2}$時，E與A重合，如圖4
此時，AC=CE=4t=4×$\frac{3}{2}$=6，
②當1＜t≤$\frac{3}{2}$時，如圖5，設EF與AB交于G，過G作GH⊥BC于H，
BF=CD+DF-BC=3t+5t-8=8t-8，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{GH}{BH}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴設GH=3x，BH=4x，
tan∠EFC=$\frac{EC}{FC}=\frac{GH}{FH}$，
∴$\frac{4t}{8t}=\frac{GH}{FH}$=$\frac{1}{2}$，
∴FH=2GH，
∴BH+BF=2GH，
∴4x+8t-8=6x，
x=4t-4，
∴GH=3x=3（4t-4）=12t-12，
∴S=S_△DEF-S_△BGF=10t²-$\frac{1}{2}$BF•GH，
=10t²-$\frac{1}{2}$（8t-8）（12t-12），
=-38t²+96t-48，
③當D與B重合時，S=0，則c=8÷3=$\frac{8}{3}$，
當$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{8}{3}$時，如圖6，設ED與AB交于點G，過G作GH⊥BC于H，
同理設GH=3x，BH=4x，則DH=BH-BD=4x-（8-3t）=4x-8+3t，
tan∠GDH=$\frac{EC}{CD}=\frac{GH}{DH}$，
$\frac{4t}{3t}=\frac{3x}{4x-8+3t}$，
x=$\frac{32-12t}{7}$
∴GH=3x=$\frac{3（32-12t）}{7}$，
∴S=S_△BDG=$\frac{1}{2}$BD•GH=$\frac{1}{2}$（8-3t）$•\frac{3（32-12t）}{7}$
=$\frac{54}{7}{t}^{2}$-$\frac{288}{7}$t+$\frac{384}{7}$；
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：
S=$\left\{\begin{array}{l}{10{t}^{2}（0＜t≤1）}\\{-38{t}^{2}+96t-48（1＜t≤\frac{3}{2}）}\\{\frac{54}{7}{t}^{2}-\frac{288}{7}t+\frac{384}{7}（\frac{3}{2}＜t≤\frac{8}{3}）}\end{array}\right.$．

點評 本題是動點問題的函數(shù)圖象，有難度，結(jié)合圖1和圖2認真理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，先表示出D和E的路程，根據(jù)已知條件分別求出直角△ABC兩直角邊的長是關(guān)鍵，并采用了分類討論的思想，注意邊界點的時間．