Question

20．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為直徑，AD平分∠BAC交⊙O于D，點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，PD=5$\sqrt{2}$，AB=8．下列結(jié)論：
①∠BAD=45°；②PD=PB；③PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC；④S_△APC=6．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 連結(jié)PC、DC、BD，作PF⊥BC于F，PE⊥AC于E，PH⊥AB于H，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得∠ACP=∠BCP，根據(jù)圓周角定理由BC為直徑得到∠BAC=90°，而AD平分∠BAC，則∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，推出①成立，再次根據(jù)圓周角定理得到∠DBC=∠BCD=45°，于是可判斷△BDC為等腰直角三角形，則BC=$\sqrt{2}$DC，然后利用三角形外角性質(zhì)證明∠DPC=∠DCP得到DC=DP，推出②不成立，所以有BC=$\sqrt{2}$DP，推出③成立，由DP=5 $\sqrt{2}$得到BC=10，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=6，根據(jù)切線長定理可計(jì)算出△ABC的內(nèi)切圓半徑為r=2，由此即可求出△APC的面積，即可判斷④成立．

解答 證明：連結(jié)PC、DC、BD，作MF⊥BC于F，PE⊥AC于E，PH⊥AB于H，如圖，

∵點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，
∴PC平分∠ACB，
∴∠ACP=∠BCP，
∵BC為直徑，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，故①正確，
∴∠DBC=∠BCD=45°，
∴△BDC為等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$DC，
又∵∠DPC=∠PAC+∠ACP=45°+∠ACP，
而∠DCP=∠BCD+∠BCP，
∴∠DPC=∠DCP，
∴DC=DP=BD，
假設(shè)②正確，則△PDB是等邊三角形，
∴∠ADB=60°=∠ACB，顯然不可能，
故②錯(cuò)誤．
∴BC=$\sqrt{2}$DP，即PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，故③正確，
∵DP=5 $\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{2}$DP=10，
而AB=8，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=6，
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，
∵點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，
∴PH=PE=PF=r，
∴四邊形AHME為正方形，
∴AH=AE=r，則CE=CF=6-r，BH=BF=8-r，
而BF+FC=BC，
∴8-r+6-r=10，解得r=2，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$•AC•PE=$\frac{1}{2}$×6×2=6，故④正確，
故正確的有①③④，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了圓周角定理和勾股定理．