Question

3．如圖1，對△ABC，D是BC邊上一點，連結(jié)AD，當$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{BD}{CD}$時，稱AD為BC邊上的“平方比線”．同理AB和AC邊上也存在類似的“平方比線”．
（1）如圖2，△ABC中，∠BAC=RT∠，AD⊥BC于D．
證明：AD為BC邊上的“平方比線”；
（2）如圖3，在平面直角坐標系中，B（-4，0），C（1，0），在y軸的正半軸上找一點A，使OA是△ABC中BC邊上的“平方比線”．
①求出點A的坐標；
②如圖4，以M（$\frac{8}{3}$，0）為圓心，MA為半徑作圓，在⊙M上任取一點P（與x軸交點除外）嗎，連結(jié)PB，PC，PO．求證：PO始終是△PBC中BC邊上的“平方比線”．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)互余判斷出∠BAD=∠C，得到△BAD∽△BCA得到AB²=BD×BC即可；
（2）①設(shè)出點A坐標，根據(jù)“平方比線”建立方程即可；②先判斷出△MPC∽△MBP得到比例式，即可．

解答 解：（1）∵∠BAC=RT∠，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵∠BDA=∠BAC=90°，
∴△BAD∽△BCA，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
∴AB²=BD×BC，
同理可得；AC²=CD×BC，
∴$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}=\frac{BD}{CD}$，
∴AD為BC邊上的“平方比線”．
（2）①設(shè)A（0，m）（m＞0），
則OA=m，而OB=4，OC=1，
所以AB²=m²+16，AC²=m²+1，
∵OA為BC邊上的“平方比線”，
∴$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}=\frac{BO}{CO}$，
∴$\frac{{m}^{2}+16}{{m}^{2}+1}=4$，
解得：m=2
∴A（0，2）．
②證明：連結(jié)PM，如圖4，

則PM=AM=$\sqrt{（{\frac{8}{3}）}^{2}+4}$=$\frac{10}{3}$，
∵MC×MB=$\frac{5}{3}$×$\frac{20}{3}$=$\frac{100}{9}$=PM²，
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{MB}{PM}$，
∵∠PMC=∠PMB，
∴△MPC∽△MBP，
∴$\frac{PC}{BP}=\frac{MC}{PM}$=$\frac{1}{2}$
∴$\frac{P{C}^{2}}{B{P}^{2}}=\frac{1}{4}=\frac{OC}{OB}$
∴PO始終是BC邊上的“平方比線”．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性和判定，勾股定理，新定義，解本題的關(guān)鍵是理解新定義“平方比線”．