Question

20．如圖，已知：AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，F(xiàn)為$\widehat{BC}$的中點，過F作DE∥BC交AB的延長線于D，交AC的延長線于E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為10，∠A=45°，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）利用垂徑定理以及圓周角定理得出∠1=∠2，進而得出OF⊥DE求出即可；
（2）利用勾股定理得出AE的長進而利用S_陰影部分=S_△ADE-S_△AOC-S_扇形OBC求出即可．

解答 （1）證明：連接OF，OC，作OG⊥AC，垂足為G，
∵F為$\widehat{BE}$的中點，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{FC}$，
∴∠1=∠2，
∵OB=OC
∴OF⊥BC，
∴∠ONC=90°，
∵DE∥BC，
∴∠OFE=∠ONC=90°，
∴OF⊥DE，
∴DE為⊙O的切線；

（2）解：∵OG⊥AC，
∴AG=CG=5$\sqrt{2}$，
AE=AG+GE=AG+OF=5$\sqrt{2}$+10，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵DE∥BC，
∴∠E=∠ACB=90°，
∵∠A=45°，
∴DE=AE=5$\sqrt{2}$+10，
∵∠BOC=2∠A=90°，
∴S_陰影部分=S_△ADE-S_△AOC-S_扇形OBC
=$\frac{1}{2}$（10+5$\sqrt{2}$）²-$\frac{1}{2}$×10×10-$\frac{90π×1{0}^{2}}{360}$
=25+50$\sqrt{2}$-25π．

點評 此題主要考查了切線的判定以及勾股定理和扇形面積等知識，得出S_陰影部分=S_△ADE-S_△AOC-S_扇形OBC是解題關(guān)鍵．