Question

2．已知x₁、x₂是方程3x²+1=4x的兩根，不解方程，則$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{28}{3}$．

Answer 1

分析 分析：先將方程化為3x^2-4x+1=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{3}$，將代數(shù)式變形得到$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{3}+{{x}_{1}}^{3}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-{3x}_{1}{x}_{2}]}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$，然后分別利用整體代入的方法計算即可．

解答 解：∵x₁、x₂是方程3x²+1=4x的兩根，
∴x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{3}+{{x}_{1}}^{3}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-{3x}_{1}{x}_{2}]}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$=$\frac{\frac{4}{3}×[（\frac{4}{3}）^{2}-3×\frac{1}{3}]}{（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{28}{3}$．
故填：$\frac{28}{3}$

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．