Question

12．在△ABC中，∠A=90°，AC=5，AB=12，將△ABC放示的平面直角坐標(biāo)系中，且點B（-8、0）、點C在x在軸上，P是y正半軸上一動點，把△POC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)∠ACB的度數(shù)，點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為Q．若OP=2時，則Q點的坐標(biāo)是（$\frac{16}{13}$，-$\frac{50}{13}$）．

Answer 1

分析 如圖，延長CP交AB于M，作QN⊥OC于N．求出直線PA、CM的解析式，解方程組求出點M坐標(biāo)，求出AM、CM，再利用△CAM∽△CNQ，得$\frac{CA}{CN}$=$\frac{AM}{NQ}$=$\frac{CM}{CQ}$，求出NQ、CN即可解決問題．

解答 解：如圖，延長CP交AB于M，作QN⊥OC于N．

∵∠ACB=∠PCQ，
∴∠ACM=∠NCO，∵∠A=∠QNC=90°，
∴△CAM∽△CNQ，
∴$\frac{CA}{CN}$=$\frac{AM}{NQ}$=$\frac{CM}{CQ}$，
由題意B（-8，0），A（$\frac{40}{13}$，$\frac{60}{13}$），
∴直線AB的解析式為y=$\frac{5}{12}$x+$\frac{10}{3}$，
∵C（5，0），P（0，2），
∴直線CP的解析式為y=-$\frac{2}{5}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{5}x+2}\\{y=\frac{5}{12}x+\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{80}{49}}\\{y=\frac{130}{49}}\end{array}\right.$，
∴M（-$\frac{80}{49}$，$\frac{130}{49}$），
∴AM=$\sqrt{（\frac{40}{13}{+\frac{80}{49}）}^{2}+（\frac{60}{13}-\frac{130}{49}）^{2}}$=$\frac{250}{49}$，MC=$\sqrt{（5+\frac{80}{49}）^{2}+（\frac{130}{49}）^{2}}$=$\frac{65}{49}\sqrt{29}$，
∴$\frac{5}{CN}$=$\frac{\frac{250}{49}}{NQ}$=$\frac{\frac{65}{49}\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$，
∴CN=$\frac{49}{13}$，NQ=$\frac{50}{13}$，
∴ON=$\frac{16}{13}$，
∴Q（$\frac{16}{13}$，-$\frac{50}{13}$）．
故答案是：（$\frac{16}{13}$，-$\frac{50}{13}$）．

點評 本題考查一次函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用方程組求兩個函數(shù)圖象交點坐標(biāo)．