Question

11．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形ADCF是菱形；
（2）若AC=8，AB=10，求菱形ADCF的面積．

Answer 1

分析 （1）可先證得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可證得四邊形ADCF為平行四邊形，再利用直角三角形的性質(zhì)可求得AD=CD，可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)條件可證得S_菱形ADCF=S_△ABC，結(jié)合條件可求得答案．

解答 （1）證明：
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠AEF=∠DEB}\\{AE=DE}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴四邊形ADCF是菱形；
（2）解：
設(shè)AF到CD的距離為h，
∵AF∥BC，AF=BC=CD，∠BAC=90°，
∴S_菱形ADCF=CD•h=$\frac{1}{2}$BC•h=S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=40．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵，注意直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的應(yīng)用．