Question

1．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，AC=CD，延長(zhǎng)BA到E，連接EC，且∠ECA=∠CBD．
（1）求證：EC是⊙O的切線；
（2）若∠E=30°，EC=3$\sqrt{3}$，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB=∠CBA，求得∠ECA=∠OCB，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由（1）證得△OCE是直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到OC=3，根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OC，
∵AC=CD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABC=∠CBD，
∵∠ECA=∠CBD，
∴∠ECA=∠CBA，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠CBA，
∴∠ECA=∠OCB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的直徑，
∴EC是⊙O的切線；

（2）解：由（1）證得△OCE是直角三角形，
∵∠E=30°，EC=3$\sqrt{3}$，
tanE=$\frac{OC}{EC}$，即$\frac{OC}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OC=3，
∵∠EOC=90°-∠E=90°-30°=60°，
∴S_陰影=S_△COE-S_扇形AOC=$\frac{1}{2}×$3×3$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形和扇形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．