Question

14．已知正方形紙片ABCD的邊長為$\sqrt{2}$+1，BD為對角線，如圖1，M為AB上的動點，N為AD上的動點，△AMN沿MN翻折操作，使A落在BD上的S點．
（1）直接寫出∠AMN的取值范圍；
（2）當(dāng)AM=1時，求∠AMN的大�。�
（3）△CPQ沿PQ翻折操作，使點C落在BD上的T點．
①如圖2，當(dāng)點T與S重合，求證：AM=CP；
②如圖3，當(dāng)PQ∥MN時，求證：AM=CQ．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點M與B重合時，∠AMN的值最小，此時∠AMN=$\frac{1}{2}$∠ABD=22.5°，當(dāng)點N與D重合時，∠AMN的值最大，此時∠AMN=90°-22.5°=67.5°，由此即可解決問題；
（2）如圖1中，AM=1時，作MK⊥BD于K．只要證明K與S重合即可解決問題；
（3）①如圖2中，連接AS、CS分別交MN于G，交PQ于K．只要證明△MAG≌△PCK即可；
②如圖3中，連接AS、CS分別交MN于G，交PQ于K．首先證明△ABS≌△CDT，推出AS=TC，再證明△MAG≌△QCK即可解決問題；

解答 解：（1）當(dāng)點M與B重合時，∠AMN的值最小，此時∠AMN=$\frac{1}{2}$∠ABD=22.5°，
當(dāng)點N與D重合時，∠AMN的值最大，此時∠AMN=90°-22.5°=67.5°，
故22.5°≤∠AMN≤67.5°．

（2）如圖1中，AM=1時，作MK⊥BD于K．

∵AB=1+$\sqrt{2}$，AM=MS=1，
∴BM=$\sqrt{2}$，
在Rt△BKM中，∵∠MBK=45°，BM=$\sqrt{2}$，
∴MK=BK=1，
∵MS=1，
∴S與K重合，
∴MS⊥BD，
∴此時N與D重合，∠ADM=∠MDB=22.5°，
∴∠AMN=67.5°．

（3）①如圖2中，連接AS、CS分別交MN于G，交PQ于K．

構(gòu)建對稱性可知，AS=SC，∠MAG=∠PCK，
∵AG=GS，SK=KC，
∴AG=CK，∵∠MGA=∠PKC=90°，
∴△MAG≌△PCK，
∴AM=PC．

②如圖3中，連接AS、CS分別交MN于G，交PQ于K．

∵PQ∥MN，AS⊥MN，TC⊥PQ，
∴AS∥TC，
∵AB∥CD，
∴∠BAS=∠DCT，
∵∠ABS=∠CDT，AB=CD，
∵△ABS≌△CDT，
∴AS=TC，
∵AG=GS，TK=KC，
∴AG=CK，∵∠MGA=∠QKC=90°，
∴△MAG≌△QCK，
∴AM=QC．

點評 本題考查四邊形綜合題、軸對稱變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．