Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x-1）²+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．點(diǎn)P在這條拋物線上，且不與B、C兩點(diǎn)重合．過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線與射線BC交于點(diǎn)Q以PQ為邊作Rt△PQF，使∠PQF=90°，點(diǎn)F在點(diǎn)Q的下方，且QF=1．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若線段PQ的長(zhǎng)度為d．
①求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)Rt△PQF的邊PF被y軸平分時(shí)，求d的值．
（3）以O(shè)B為邊作等腰直角△OBD，當(dāng)0＜m＜3時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)F落在△OBD的邊上時(shí)m的值．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)B（3，0）代入拋物線y=a（x-1）²+4即可．
（2）①分兩種情形當(dāng)-1≤m＜0時(shí)，如圖1，當(dāng)0＜m≤3時(shí)，如圖2，分別計(jì)算即可．
②根據(jù)P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，列出方程m+m²-2m=0即可．
（3）分四種情形見(jiàn)圖4、圖5、圖6、圖7分別計(jì)算即可．

解答 解：（1）將點(diǎn)B（3，0）代入拋物線
y=a（x-1）²+4．
得4a+4=0．
解得a=-1．
∴這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=-（x-1）²+4．
即：y=-x²+2x+3．

（2）由（1）得對(duì)稱軸為直線x=1．
∵B（3，0）．
∴A（-1，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1+4=3．
∴C（0，3）．
設(shè)直線BC的解析式是：y=kx+b．
將B、C代入，得：$\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=3\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=3\end{array}\right.$．
∴直線BC的函數(shù)解析式是：
y=-x+3．
①由題意知P（m，-m²+2m+3）．
∵PQ⊥y軸．
∴Q（m²-2m，-m²+2m+3）．
根據(jù)題意知：-1≤m＜0或0＜m≤3．
當(dāng)-1≤m＜0時(shí)，如圖1，

d=m²-2m-m
=m²-3m．
當(dāng)0＜m≤3時(shí)，如圖2，

d=m-（m²-2m）
=-m²+3m．
②如圖3中，

當(dāng)Rt△PQF的邊PF被y軸平分時(shí)，設(shè)PF與y軸交于點(diǎn)M，可得N為線段PQ中點(diǎn)．
∴P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴m+m²-2m=0，
解得m₁=0，m₂=1，
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合，
∴m=1，
當(dāng)m=1時(shí)，d=-1²+3×1=2；
（3）①如圖4中，

點(diǎn)F在OC邊上，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，
當(dāng)y=3時(shí)，3=-x²+2x+3，解得x=0（舍棄），或2，
∴此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2．
②如圖5中，

∵直線BC解析式為y=-x+3，直線OD解析式為y=x，
∵QF=1，
∴-x+3-x=1，
∴x=1，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（1，2），
y=2時(shí)，2=-x²+2x+3．解得x=1+$\sqrt{2}$ 或1-$\sqrt{2}$（舍棄），
∴此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)1+$\sqrt{2}$．

③如圖6中，

此時(shí)的Q坐標(biāo)（2，1），
當(dāng)y=1時(shí)，1=-x²+2x+3，解得x=1+$\sqrt{3}$或1-$\sqrt{3}$（舍棄）．
∴此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為1+$\sqrt{3}$．

④如圖7中，

∵直線BC解析式為y=-x+3，直線BD解析式為y=x-3，
∵QF=1，
∴-x+3-（x-3）=1，
∴x=2.5，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（2.5，0.5），
當(dāng)y=0.5時(shí)，0.5=-x²+2x+3，解得x=$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$或$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$（舍棄）
∴此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$．
綜上所述m的值分別為：2，$1+\sqrt{2}$，$1+\sqrt{3}$，$\frac{{2+\sqrt{14}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、兩點(diǎn)之間的距離等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)正確畫(huà)好圖象，利用圖象解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論，不能漏解，屬于中考?jí)狠S題．