Question

8．某數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中，對一個(gè)數(shù)字問題作如下研究：
【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC上任意一點(diǎn)，連接AM，以AM為邊作等邊△AMN，連接CN，判斷CN和AB的位置關(guān)系：CN∥AB
【變式探究】如圖②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使頂角∠AMN=∠ABC，MA=MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【解決問題】如圖③，在正方形ADBC中，點(diǎn)M為BC邊上一點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF，點(diǎn)N為正方形AMEF的中心，連接CN，若正方形ADBC的邊長為8，CN=$\sqrt{2}$，直接寫出正方形AMEF的邊長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC，△AMN為等邊三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°從而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，證明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．
（2）根據(jù)△ABC，△AMN為等腰三角形，得到$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MN}$=1且∠ABC=∠AMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=$\frac{180°-∠B}{2}$，∠MAN=$\frac{180°-∠AMN}{2}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$，得到BM=2，CM=6根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）CN∥AB，
∵△ABC與△MN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM與△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN，
∴∠B=∠ACN=60°，
∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，
∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，
∴CN∥AB；

（2）∠ABC=∠ACN，
理由：∵$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MN}$=1且∠ABC=∠AMN，
∴△ABC～△AMN，
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，
∵AB=BC，
∴∠BAC=$\frac{180°-∠B}{2}$，
∵AM=MN
∴∠MAN=$\frac{180°-∠B}{2}$，
∵∠B=∠AMN，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△ABM～△ACN，
∴∠ABC=∠ACN；

（3）
∵四邊形ADBC，AMEF為正方形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，
∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC
即∠BAM=∠CAN，
∵$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AN}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AC}$，
∴△ABM～△ACN
∴$\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BM=2，
∴CM=6
在Rt△AMC，AC=8，CM=6，
AM=$\sqrt{A{C}^{2}+M{C}^{2}}$=10，
答：正方形AMEF的邊長為10．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理、相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是相似三角形的判定的應(yīng)用．