Question

16．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上方．
（1）如圖1所示，若A的坐標(biāo)是（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，求證OA=CD+OD；
（3）如圖3，若x軸恰好平分∠BAC，BC與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，問CF與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出OA=3，OB=1，再判斷出AB=CB，∠BAO=∠CBH，進(jìn)而得出△AOB≌△BHC，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出∠CBD=90°，再判斷出∠BCD=∠DAF，進(jìn)而判斷出△ABE≌△CBD，得出AE=CD，最后判斷出DF=CF即可得出結(jié)論、

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CH⊥y軸于H，
∵A（-3，0），B（0，1），
∴OA=3，OB=1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBH，
在△AOB和△BHC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BHC=90°}\\{∠BAO=∠CBH}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BHC，
∴CH=OB=1，BH=OA=3，
∴OH=OB+BH=4，
∴C（-1，4）；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
在△AOB和△BDC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BHC=90°}\\{∠BAO=∠CBH}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BDC，
∴CD=OB，BD=OA，
∵BD=OB+OD=CD+OD，
∴OA=CD+OD；

（3）CF=$\frac{1}{2}$AE，
理由：如圖3，延長(zhǎng)CF，AB相交于點(diǎn)D，
∴∠CBD=180°-∠ABC=90°，
∵CF⊥x軸，
∴∠BCD+∠D=90°，
∵∠DAF+∠D=90°，
∴∠BCD=∠DAF，
在△ABE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBD}\\{∠BAE=∠BCD}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，
∵x軸平分∠BAC，CF⊥x軸，
∴AC=AD，
∵CF⊥x軸，
∴CF=DF，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AE．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，是一道中等難度的中考�？碱}．