Question

17．有下列4個(gè)命題：①方程x²-（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）x+$\sqrt{6}$=0的兩個(gè)根是$\sqrt{3}$與$\sqrt{2}$；②點(diǎn)P（x，y）坐標(biāo)x，y滿(mǎn)足x²+y²+4x-2y+5=0，若P點(diǎn)在y=$\frac{k}{x}$上，則k=-2；③在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=$\frac{9}{4}$，則CD=3；④若實(shí)數(shù)b，c滿(mǎn)足1+b+c＞0，1-b+c＜0，則關(guān)于x的方程x²+bx+c=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且較大根x₀滿(mǎn)足-1＜x₀＜0．其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 利用因式分解法解方程可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用配方法求出x、y的值，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)射影定理對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答 解：方程x²-（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）x+$\sqrt{6}$=0的兩個(gè)根是$\sqrt{3}$與$\sqrt{2}$，所以①正確；
由x²+y²+4x-2y+5=0得（x+2）²+（y-1）²=0，則x=-2，y=1，所以k=-2×1=-2，所以②正確；
CD²=AD•BD=4×$\frac{9}{4}$，則CD=3，所以③正確；
拋物線(xiàn)y=x²+bx+c=0的開(kāi)口向上，當(dāng)x=1時(shí)，y=1+b+c＞0，當(dāng)x=-1時(shí)，y=1-b+c＜0，即拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以關(guān)于x的方程x²+bx+c=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由于拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)可能在（0，0）與（1，0）之間，所以④錯(cuò)誤．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫(xiě)成“如果…那么…”形式． 有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．