Question

12．二次函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x²的圖象如圖所示，點A₀位于坐標原點，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₈在y軸的正半軸上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₀₈在二次函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x²第一象限的圖象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈都為等邊三角形，請計算△A₀B₁A₁的邊長=1；△A₁B₂A₂的邊長=2；△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的邊長=2008．

Answer 1

分析 由于△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，都是等邊三角形，因此∠B₁A₀x=30°，可先設(shè)出△A₀B₁A₁的邊長，然后表示出B₁的坐標，代入拋物線的解析式中即可求得△A₀B₁A₁的邊長，用同樣的方法可求得△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…的邊長，然后根據(jù)各邊長的特點總結(jié)出此題的一般化規(guī)律，然后再利用規(guī)律求出；△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的邊長即可．

解答 解：設(shè)△A₀B₁A₁的邊長為m₁，則B₁（$\frac{\sqrt{3}{m}_{1}}{2}$，$\frac{{m}_{1}}{2}$）；
代入拋物線的解析式中得：$\frac{2}{3}$×（$\frac{\sqrt{3}{m}_{1}}{2}$）²=$\frac{{m}_{1}}{2}$，
解得m₁=0（舍去），m₁=1；
故△A₀B₁A₁的邊長為1，
同理可求得△A₁B₂A₂的邊長為2，
…
依此類推，△A_nB_n+1A_n+1的邊長為n+1，
故△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的邊長為2008；
故答案為1、2、2008．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)正三角形的性質(zhì)表示點的坐標，利用拋物線解析式求正三角形的邊長，得到規(guī)律．