Question

如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，DA上的點(diǎn)，且CE=DF，AE與BF交于點(diǎn)H
（1）判斷線段AE，BF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）找出圖中所有與△ABH相似的三角形．（不添加任何輔助線）

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠BAF=∠D=90°，AB=AD=DC，求出DE=AF，根據(jù)SAS推出△BAF≌△ADE，根據(jù)全等得出∠ABF=∠DAE，求出∠AHB=90°即可；
（2）圖中所有與△ABH相似的三角形是△FBA和△EAD，根據(jù)相似三角形的判定推出△ABH∽△FBA和△FBA≌△EAD即可．

解答：解：（1）AE⊥BF，
理由是：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠D=90°，AB=AD=DC，
∵CE=DF，
∴DE=AF，
在△BAF和△ADE中，

AB=AD ∠BAF=∠D AF=DE

，
∴△BAF≌△ADE（SAS），
∴∠ABF=∠DAE，
∵∠BAF=90°，
∴∠DAE+∠BAH=90°，
∴∠ABF+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF；

（2）圖中所有與△ABH相似的三角形是△FBA和△EAD，
理由是：∵∠ABH=∠ABF，∠AHB=∠BAF=90°，
∴△ABH∽△FBA，
∵△FBA≌△EAD，
∴△ABH∽△EAD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△ABH∽△FBA，△FBA≌△EAD，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．