Question

2．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于點D，AC=6，AB=10，求AD的長．

Answer 1

分析 首先連接BC、OD、BD，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中利用勾股定理計算出BC=8，由于∠CAD=∠BAD，根據(jù)圓周角定理得到弧CD=弧BD，再根據(jù)垂徑定理的推理得OD垂直平分BC，則可求得OE，DE的長，在Rt△BDE中利用勾股定理計算出BD=2，然后在Rt△ADB中利用勾股定理可計算出AD．

解答 解：連接BC、OD、BD，如圖，
∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，
∵AB=10，AC=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD垂直平分BC，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC=3，BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴DE=OD-OE=2，
在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$cm，
在Rt△ADB中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$cm．

點評 此題考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理等知識．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．