Question

9．已知正方形ABCD是一個(gè)正方形，E是BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，∠EAF=45°，AE、AF分別交BD于M、N，連接MF，求證：AM⊥MF，AM=MF．

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)得出∠ADF=90°，∠ADM=∠FDM=45°，再由已知條件得出∠FDM=∠EAF，證出A、D、F、E四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出AF是直徑，$\widehat{AM}÷\widehat{FM}$，得出∠AMF=90°，AM=MF，即可得出AM⊥MF．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADF=90°，∠ADM=∠FDM=45°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FDM=∠EAF，
∴A、D、F、E四點(diǎn)共圓，
∵∠ADF=90°，∠ADM=∠FDM，
∴AF是直徑，$\widehat{AM}÷\widehat{FM}$，
∴∠AMF=90°，AM=MF，
∴AM⊥MF．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明四點(diǎn)共圓是解決問題的關(guān)鍵．